Uma equipe de engenharia ambiental está analisando a trajetória de partículas de sedimentos em suspensão num estuário. A posição média de uma partícula ao longo do tempo é descrita pelas equações paramétricas:
com
, onde
e
(em metros) representam as coordenadas horizontais no plano do estuário e
(em horas) representa o tempo. (Usa ferramentas de cálculos I e II)
(a) Descreva geometricamente a trajetória dessa partícula no plano
.
(b) Determine o vetor velocidade e aceleração da partícula.
(c) Calcule o comprimento total do percurso da partícula para uma volta completa no intervalo dado.
(d) Interprete o significado físico do percurso obtido em termos do movimento de partículas em um estuário.
(a) Descreva geometricamente a trajetória dessa partícula no plano
(b) Determine o vetor velocidade e aceleração da partícula.
(c) Calcule o comprimento total do percurso da partícula para uma volta completa no intervalo dado.
(d) Interprete o significado físico do percurso obtido em termos do movimento de partículas em um estuário.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede: (a) descrição geométrica da curva, (b) vetor velocidade e aceleração, (c) comprimento de arco para uma volta, e (d) interpretação física. Vamos usar conhecimentos de curvas paramétricas, derivadas para velocidade e aceleração, e fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Para ver a forma geométrica, eliminamos o parâmetro
. Da primeira equação,
; da segunda,
. Usando
obtemos
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior
no eixo
e semi-eixo menor
no eixo
.
Passo 3
O vetor velocidade é a derivada de
em relação a
:
O vetor aceleração é a derivada de
:
Passo 4
O comprimento de arco para
de
a
é
Usando simetria de período
, pode-se escrever
que é uma integral elíptica (função
com
). Numericamente, dá aproximadamente
m.
Passo 5
Físicamente, essa elipse mostra que a partícula descreve um movimento periódico fechado no plano horizontal do estuário. A velocidade e a aceleração variam em módulo e direção, mas a partícula retorna ao ponto de partida após
h, sem deslocamento líquido ao longo do tempo.
Resposta
(a) A trajetória é uma elipse de equação
, centrada na origem, com semi-eixos
e
.
(b) ,
.
(c) m.
(d) Indica movimento periódico fechado de partículas no estuário, sem transporte líquido de sedimento ao longo de uma volta completa.
(b)
(c)
(d) Indica movimento periódico fechado de partículas no estuário, sem transporte líquido de sedimento ao longo de uma volta completa.