Uma equipe de engenharia ambiental está analisando a trajetória de partículas de sedimentos em suspensão num estuário. A posição média de uma partícula ao longo do tempo é descrita pelas equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=4 \cos (t) \\\ y(t)=3 \sin (t) \end{array}\right.
com t \in[0,2 \pi], onde x(t) e y(t) (em metros) representam as coordenadas horizontais no plano do estuário e t (em horas) representa o tempo. (Usa ferramentas de cálculos I e II)
(a) Descreva geometricamente a trajetória dessa partícula no plano x y.
(b) Determine o vetor velocidade e aceleração da partícula.
(c) Calcule o comprimento total do percurso da partícula para uma volta completa no intervalo dado.
(d) Interprete o significado físico do percurso obtido em termos do movimento de partículas em um estuário.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
\begin{cases} x(t)=4\cos(t),\\\ y(t)=3\sin(t), \end{cases}\quad t\in[0,2\pi]
e pede: (a) descrição geométrica da curva, (b) vetor velocidade e aceleração, (c) comprimento de arco para uma volta, e (d) interpretação física. Vamos usar conhecimentos de curvas paramétricas, derivadas para velocidade e aceleração, e fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Para ver a forma geométrica, eliminamos o parâmetro t. Da primeira equação, \cos(t)=x/4; da segunda, \sin(t)=y/3. Usando \cos^2(t)+\sin^2(t)=1 obtemos
\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{y}{3}\Bigr)^2=1.
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior a=4 no eixo x e semi-eixo menor b=3 no eixo y.

Passo 3

O vetor velocidade é a derivada de (x(t),y(t)) em relação a t:
\mathbf{v}(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) =\bigl(-4\sin(t),\,3\cos(t)\bigr).
O vetor aceleração é a derivada de \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t)=\bigl(v_x'(t),\,v_y'(t)\bigr) =\bigl(-4\cos(t),\,-3\sin(t)\bigr).

Passo 4

O comprimento de arco para t de 0 a 2\pi é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{16\sin^2(t)+9\cos^2(t)}\,dt.
Usando simetria de período 2\pi, pode-se escrever
L=4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{16\sin^2(t)+9\cos^2(t)}\,dt,
que é uma integral elíptica (função E(e) com e=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}}=\tfrac{\sqrt7}{4}). Numericamente, dá aproximadamente L\approx22{,}2 m.

Passo 5

Físicamente, essa elipse mostra que a partícula descreve um movimento periódico fechado no plano horizontal do estuário. A velocidade e a aceleração variam em módulo e direção, mas a partícula retorna ao ponto de partida após 2\pi h, sem deslocamento líquido ao longo do tempo.

Resposta

(a) A trajetória é uma elipse de equação \tfrac{x^2}{16}+\tfrac{y^2}{9}=1, centrada na origem, com semi-eixos 4 e 3.
(b) \mathbf{v}(t)=\bigl(-4\sin(t),\,3\cos(t)\bigr), \mathbf{a}(t)=\bigl(-4\cos(t),\,-3\sin(t)\bigr).
(c) L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt{16\sin^2(t)+9\cos^2(t)}\,dt\approx22{,}2 m.
(d) Indica movimento periódico fechado de partículas no estuário, sem transporte líquido de sedimento ao longo de uma volta completa.

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