Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{k} com k \geq 2.
Defina os campos de vetores \operatorname{grad}(f)=\left(f_{x}, f_{y}\right) e \operatorname{ham}(f)=\left(-f_{y}, f_{x}\right).
i) Mostre que os campos \operatorname{grad}(\mathrm{f}) e ham(f) são ortogonais.
ii) Mostre que as curvas integrais de ham(f) coincidem com as curvas de nível de f.
iii) Mostre que as curvas integrais de grad(f) são ortogonais as curvas de nível de f.
iv) Seja f(x, y)=y^{2}+\cos (x). Esboce as curvas integrais de \operatorname{grad}(\mathrm{f}) e ham(f).
v) Seja g(x, y)=x^{2}+y^{2}+a\left(x^{3}-x y^{2}\right), a uma constante fixada. Esboce as curvas integrais de \operatorname{grad}(\mathrm{g}) e ham(g). Analise para vários valores de a.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} de classe C^{k} com k\ge 2.
  • Define-se o gradiente como \operatorname{grad}(f)=(f_x,f_y) e o campo “hamiltoniano” como \operatorname{ham}(f)=(-f_y,f_x).
O que é pedido:
i) Mostrar que \operatorname{grad}(f) e \operatorname{ham}(f) são ortogonais (em cada ponto).
ii) Mostrar que as curvas integrais de \operatorname{ham}(f) coincidem com as curvas de nível de f.
iii) Mostrar que as curvas integrais de \operatorname{grad}(f) são ortogonais às curvas de nível de f.
iv) Para f(x,y)=y^{2}+\cos x: esboçar (descrever) as curvas integrais de \operatorname{grad}(f) e \operatorname{ham}(f).
v) Para g(x,y)=x^{2}+y^{2}+a(x^{3}-xy^{2}) com a constante: esboçar as curvas integrais de \operatorname{grad}(g) e \operatorname{ham}(g) e analisar para vários valores de a.
Agora vou provar e explicar tudo passo a passo, com as ideias e cálculos necessários.

Passo 2

(i) Prova que \operatorname{grad}(f) e \operatorname{ham}(f) são ortogonais.
Primeiro, o que significa “ortogonais” em \mathbb{R}^2? Dois vetores u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) são ortogonais se o produto escalar deles for zero:
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0.
Agora calcule o produto escalar entre \operatorname{grad}(f) e \operatorname{ham}(f). As componentes são \operatorname{grad}(f)=(f_x,f_y) e \operatorname{ham}(f)=(-f_y,f_x). Então:
\operatorname{grad}(f)\cdot \operatorname{ham}(f) = f_x\cdot(-f_y) + f_y\cdot f_x.
Simplificando:
\operatorname{grad}(f)\cdot \operatorname{ham}(f) = -f_x f_y + f_y f_x = 0.
Assim, o produto escalar é zero em todo ponto, logo os campos são ortogonais em cada ponto onde estão definidos. Isso conclui (i).
Observação didática rápida: \operatorname{ham}(f) é simplesmente a rotação de \operatorname{grad}(f) por 90^\circ (no sentido anti-horário) porque a rotação R_{90} aplicada a (a,b) (-b,a). Rotação preserva norma e torna o vetor ortogonal ao original.

Passo 3

(ii) Mostrar que as curvas integrais de \operatorname{ham}(f) coincidem com as curvas de nível de f.
Primeiro, definir curva integral. Uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) é integral de um campo de vetores X(x,y) se satisfaz a equação diferencial
\gamma'(t)=X(\gamma(t)),
isto é, a derivada temporal da curva é o vetor do campo no ponto.
Agora seja \gamma(t) uma curva integral de X=\operatorname{ham}(f). Considere a variação de f ao longo de \gamma:
\frac{d}{dt}\big(f(\gamma(t))\big) = \nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t).
Mas \gamma'(t)=\operatorname{ham}(f)(\gamma(t)), então
\frac{d}{dt}\big(f(\gamma(t))\big) = \operatorname{grad}(f)\cdot \operatorname{ham}(f).
Pelo passo anterior esse produto escalar é 0. Logo
\frac{d}{dt}\big(f(\gamma(t))\big)=0,
o que significa que f(\gamma(t)) é constante ao longo de \gamma. Portanto a curva \gamma fica confinada a um nível de f (isto é, dentro de uma curva de nível f(x,y)=\text{const}). Assim toda curva integral de \operatorname{ham}(f) é contida numa curva de nível de f.
Para ver que as curvas integrais de \operatorname{ham}(f) realmente coincidem com as curvas de nível (não apenas estão contidas nelas), observe que uma curva de nível regular L=\{(x,y):f(x,y)=c\} tem, em cada ponto regular (onde \nabla f\neq 0), um espaço tangente de dimensão 1 formado por vetores v que satisfazem \nabla f\cdot v=0. Em \mathbb{R}^2 o conjunto de vetores ortogonais a \nabla f é uma reta unidimensional, e \operatorname{ham}(f) é um vetor não-nulo (quando \nabla f\neq0) nessa direção ortogonal (pois já provamos que é ortogonal). Portanto, a orientação tangente da curva de nível coincide (até fator escalar) com \operatorname{ham}(f). Assim, integrando o campo \operatorname{ham}(f) obtemos exatamente as curvas de nível (com possível orientação e reparametrização). Conclui-se que curvas integrais de \operatorname{ham}(f) são as curvas de nível de f.
Didática: é útil pensar que \operatorname{ham}(f) é tangente às curvas onde f é constante; por isso chamar de “hamiltoniano” tem sentido: em sistemas hamiltonianos a energia H é constante e o campo (-H_y,H_x) é tangente às curvas de nível de H.

Passo 4

(iii) Mostrar que as curvas integrais de \operatorname{grad}(f) são ortogonais às curvas de nível de f.
Novamente, seja \gamma(t) curva integral de X=\operatorname{grad}(f). Então \gamma'(t)=\operatorname{grad}(f)(\gamma(t)). A derivada de f ao longo de \gamma é
\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = \nabla f\cdot \nabla f = \|\nabla f\|^2.
Assim \frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \|\nabla f(\gamma(t))\|^2\ge 0, e é estritamente positiva em pontos onde \nabla f\neq 0. Isso implica que f cresce (ou decresce se escolhermos -\nabla f) estritamente ao longo das curvas integrais: as curvas de gradiente cruzam as curvas de nível aumentando f. Geometricamente, a direção do vetor gradiente é a direção de máximo crescimento de f e, por definição, é ortogonal ao espaço tangente da curva de nível (porque vetores tangentes satisfazem \nabla f\cdot v=0). Logo as curvas integrais de \operatorname{grad}(f) encontram as curvas de nível de forma ortogonal (quando \nabla f\neq0).
Didática curta: gradiente = direção de subida mais rápida; curvas de nível = contornos; subida mais rápida é perpendicular ao contorno.

Passo 5

Comentário interpretativo (ajuda a desenhar depois): \operatorname{ham}(f) é a rotação em 90^\circ de \operatorname{grad}(f). Assim \operatorname{ham}(f) é tangente às curvas de nível (muda x,y sem mudar f), enquanto \operatorname{grad}(f) aponta perpendicularmente através das curvas de nível aumentando f. Esta visão geométrica ajuda a esboçar os dois campos sem resolver ODEs exatamente.

Passo 6

(iv) Estudo concreto de f(x,y)=y^{2}+\cos x. Cálculos iniciais:
Calcule as derivadas parciais:
f_x(x,y) = -\sin x,\qquad f_y(x,y)=2y.
Então
\operatorname{grad}(f)(x,y)=(-\sin x,\,2y),
\operatorname{ham}(f)(x,y)=(-2y,\,-\sin x).
Análise das curvas de nível f(x,y)=c: são as curvas
y^{2}+\cos x = c \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\sqrt{c-\cos x},
quando c-\cos x\ge 0. Como \cos x\in[-1,1], para dado c a equação tem pontos reais somente onde c\ge -1 (e dependendo de c pode ou não ser válida para todo x). Vamos discutir tipos de curvas de nível conforme c:
  • Se c<-1 não existem pontos reais.
  • Se c=-1 então y=0 e \cos x=-1, ou seja pontos isolados x=(2k+1)\pi, y=0.
  • Se c está entre -1 e 1, a função c-\cos x é não-negativa apenas em certos intervalos de x, então as curvas de nível são arcos abertos em volta das regiões onde \cos x\le c — em particular não são curvas fechadas em geral.
  • Se c>1, então c-\cos x>0 para todo x, e y=\pm\sqrt{c-\cos x} define duas curvas y contínuas e periódicas (uma acima e outra abaixo), que são abertas no sentido horizontal (não necessariamente fechadas em formato círculo, são funções periódicas).
Classificação de pontos críticos: \nabla f = 0 quando -\sin x = 0 e 2y=0, isto é em pontos (x,y)=(k\pi,0). O valor de f nesses pontos é f(k\pi,0)=\cos(k\pi)=(-1)^k. O Hessiano em (k\pi,0) tem entradas f_{xx}=-\cos x e f_{yy}=2, e f_{xy}=0. Em x=k\pi:
  • Para k par (ou seja x=2m\pi), \cos x=1 então f_{xx}=-1, então o Hessiano tem sinais opostos (-1,2): determinante negativa \Rightarrow ponto de sela.
  • Para k ímpar (ou seja x=(2m+1)\pi), \cos x=-1 então f_{xx}=1 e Hessiano diag (1,2) positivo: ponto mínimo.
Portanto há pontos de sela e mínimos alternados ao longo do eixo x.
Agora descrever os campos integrais:
  • Curvas integrais de \operatorname{ham}(f): são exatamente as curvas de nível que vimos acima. Perto de um ponto mínimo (por exemplo x=\pi,y=0 se for mínimo), as curvas de nível são fechadas em volta do mínimo (pequenas elipses/casos análogos), então \operatorname{ham}(f) tem órbitas fechadas periódicas em volta de mínimos. Perto de um ponto de sela (por exemplo x=0,y=0), as curvas de nível têm formato de hipérbole (porque Hessiano com determinante negativo), então \operatorname{ham}(f) possui trajetórias que são hipérbolas passando pelo selo — ou seja há separatrizes que cruzam o ponto de sela. Assim qualitativamente:
    • Ao redor de mínimos: curvas fechadas (órbitas fechadas).
    • Em sela: curvas em forma de ramo hiperbólico, com separatrizes.
  • Curvas integrais de \operatorname{grad}(f): escrevendo o sistema de ODE para o fluxo do gradiente,
x'(t) = -\sin x(t),\qquad y'(t)=2y(t).
A equação para y é linear e separável: y(t)=C e^{2t}, então y cresce (ou decresce) exponencialmente, exceto na trajetória y(t)\equiv 0. A equação para x é independente de y: \dfrac{dx}{dt}=-\sin x. Essa última equação tem soluções que tendem para os pontos x=k\pi conforme t\to\pm\infty dependendo da condição inicial (é uma equação autônoma com pontos de equilíbrio em k\pi). Assim as curvas integrais do gradiente são curvas que atravessam as curvas de nível perpendicularmente; em y têm comportamento exponencial e em x se aproximam dos valores de k\pi. Em termos de esboço: são trajetórias que saem/entram dos pontos críticos seguindo a direção de subida mais rápida, cruzando os contornos que são hipérbolas ou laços.
Resumo de desenho (como visualizar):
  • Desenhe os pontos críticos ao longo do eixo y=0 em x=k\pi. Nos k pares há um selo (hipérbolas), nos k ímpares há mínimos (óvulos/poços).
  • Trajetórias de \operatorname{ham}(f) seguem os contornos: fechadas ao redor de mínimos, hipérbolas nas selas.
  • Trajetórias de \operatorname{grad}(f) saem/entram desses pontos ortogonalmente aos contornos, com y crescendo/decrescendo exponencialmente e x andando para os próximos múltiplos de \pi.

Passo 7

(v) Estudo de g(x,y)=x^{2}+y^{2}+a(x^{3}-x y^{2}), com a fixado. Cálculos iniciais:
Derivadas parciais:
g_x(x,y) = 2x + a(3x^{2}-y^{2}),
g_y(x,y) = 2y + a(-2xy)=2y - 2a x y.
Logo
\operatorname{grad}(g)=(2x + a(3x^{2}-y^{2}),\; 2y - 2a x y),
\operatorname{ham}(g)=(-2y + 2a x y,\; 2x + a(3x^{2}-y^{2})).
Análise geral e pontos críticos (soluções de \nabla g=0):
As equações \nabla g=0 são
2x + a(3x^{2}-y^{2})=0,\qquad 2y - 2a x y=0.
A segunda equação pode ser fatorada:
2y(1 - a x)=0,
portanto y=0 ou x=1/a (quando a\neq 0). Analisemos cada caso:
  • Caso y=0: então a primeira equação fica 2x + a(3x^{2})=0, isto é
x(2 + 3a x)=0.
Isto dá duas soluções:
x=0 \quad\text{ou}\quad x = -\frac{2}{3a} \quad(\text{se }a\neq 0).
Logo sempre existe o ponto crítico (0,0). Se a\neq0 aparece também um ponto crítico em \big(-\tfrac{2}{3a},\,0\big).
  • Caso x=1/a (supondo a\neq0): substituindo na primeira equação
2\cdot\frac{1}{a} + a\Big(3\cdot\frac{1}{a^2}-y^2\Big)=0
que simplifica para
\frac{2}{a} + \frac{3}{a} - a y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{a} - a y^2 = 0.
Isto dá
y^2 = \frac{5}{a^2} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \frac{\sqrt{5}}{|a|}.
Portanto, para a\neq 0 existem também dois pontos críticos em
\Big(\frac{1}{a},\,\pm \frac{\sqrt{5}}{|a|}\Big).
Conclusão sobre existência: para a=0 o único ponto crítico é a origem. Para a\neq 0 aparecem, além da origem, até três outros pontos críticos (dependendo do sinal de a eles ficam em lugares opostos no plano): um ao longo do eixo y=0 em x=-2/(3a) e dois simétricos em torno do eixo y em x=1/a.
Classificação local perto da origem:
  • Calcule o Hessiano de g:
g_{xx} = 2 + a(6x),\qquad g_{yy}=2 - 2a x,\qquad g_{xy}=g_{yx} = -2a y.
No ponto (0,0) isso dá g_{xx}=2,\; g_{yy}=2,\; g_{xy}=0. Logo o Hessiano é \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} em (0,0), que é definido positivo. Assim (0,0) é um mínimo local estrito para qualquer a. Isso implica que:
  • Perto da origem, as curvas de nível de g são aproximadamente círculos (porque os termos quadráticos dominam), e assim \operatorname{ham}(g) tem órbitas aproximadamente circulares fechadas ao redor da origem, enquanto \operatorname{grad}(g) aponta radialmente para fora (saindo do mínimo) ou para dentro (dependendo do sentido temporal).
Efeito do parâmetro a:
  • Para a=0: g=x^{2}+y^{2}. Então \operatorname{grad}(g)=(2x,2y) é exatamente radial e as integrais são semirretas saindo/entrando do origem; \operatorname{ham}(g)=(-2y,2x) é o campo rotacional puro com órbitas círculos centradas na origem (movimento angular uniforme).
  • Para 0<|a|\ll 1 (pequeno): os termos cúbicos são pequenas perturbações. A geometria perto da origem permanece qualitativamente igual (níveis quase circulares, \operatorname{ham}(g) órbitas quase circulares), mas para níveis maiores (distantes da origem) aparecem deformações e as novas singularidades (pontos críticos fora da origem) podem criar órbitas adicionais, separatrizes e mudanças topológicas nas curvas de nível.
  • Para valores maiores de |a| essas perturbações tornam-se dominantes em regiões onde x,y são da ordem 1/|a| (porque as soluções críticas apareciam em escala 1/a). Assim dependendo de a:
    • Novos mínimos/selas podem surgir longe da origem e gerar laços fechados de \operatorname{ham}(g) em torno desses novos mínimos.
    • Separatrizes (linhas separando diferentes tipos de órbitas) aparecem conectando pontos de sela; isso altera fortemente o padrão global do campo \operatorname{ham}(g).
  • Sobre o sinal de a: trocar a por -a espelha a localização dos pontos críticos na direção x (os pontos críticos listados mudam de sinal em x); em termos de esboço, isso inverte a orientação das deformações (os lóbulos surgem para lados opostos).
Esboço qualitativo por casos:
  • Caso a=0: \operatorname{ham}(g) = círculos concêntricos; \operatorname{grad}(g) = radiais.
  • Caso |a| pequeno: próximo à origem comportamento parecido com a=0; para raios maiores as curvas de nível se deformam levemente (círculos “esticados”), e pode haver pontos críticos distantes com pequenas ilhas de órbitas fechadas ou saddles com separatrizes.
  • Caso |a| moderado a grande: as deformações são fortes; as órbitas de \operatorname{ham}(g) podem se ligar e formar estruturas complexas (laços em torno de novos mínimos, trajetórias que circulam em torno de vários centros, separatrizes ligando selas). A localização dos novos pontos críticos é aproximadamente em x da ordem 1/a (veja as fórmulas dos pontos críticos), por isso para |a| pequeno eles ficam longe; para |a| grande ficam próximos, mudando rapidamente o padrão próximo da origem.
Resumo prático para desenhar:
  1. Marcar a origem — sempre mínimo local.
  2. Para a\neq0 marcar também \big(-\tfrac{2}{3a},0\big) e \big(\tfrac{1}{a},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{|a|}\big).
  3. Perto da origem: desenhar curvas quase circulares (níveis baixos) e setas radiais para o grad.
  4. A partir dos pontos críticos adicionais desenhar pequenos poços/selas conforme indicam os sinais do Hessiano local (poderá ser necessário calcular o Hessiano nesses pontos para classificar cada um; a existência já explica a alteração topológica).
  5. Para a>0 as deformações aparecem para x positivo (pois 1/a>0), para a<0 aparecem no lado negativo; isso muda onde surgem ilhas/selas.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para intuição (opcionais, mas ajudam a imaginar):
  • Se a=0{,}1 as novas singularidades estão aproximadamente em x\sim 10 (longe), então perto da origem o campo parece radial/rotacional com leve deformação.
  • Se a=1 as singularidades estão em x=1 e x=-2/3, então já são visíveis próximas ao tipo de figura global, criando bolsões e separatrizes.
  • Se a=-1 as posições trocam de sinal e os bolsões aparecem do outro lado do eixo y.

Resposta

(i) \operatorname{grad}(f) e \operatorname{ham}(f) são ortogonais em todo ponto, pois \operatorname{grad}(f)\cdot\operatorname{ham}(f)= -f_x f_y + f_y f_x = 0.
(ii) As curvas integrais de \operatorname{ham}(f) coincidem com as curvas de nível de f (pois d/dt\,f(\gamma(t))=\nabla f\cdot\operatorname{ham}(f)=0).
(iii) As curvas integrais de \operatorname{grad}(f) são ortogonais às curvas de nível de f (pois a derivada de f ao longo de uma integral de \operatorname{grad}(f) é \|\nabla f\|^2>0, e \nabla f é por definição perpendicular aos vetores tangentes às curvas de nível).
(iv) Para f(x,y)=y^{2}+\cos x: \operatorname{grad}(f)=(-\sin x,2y), \operatorname{ham}(f)=(-2y,-\sin x). As curvas de nível y^{2}+\cos x=c são hipérbolas perto dos pontos de sela (2k\pi,0) e laços fechados em torno dos mínimos ((2k+1)\pi,0). Assim \operatorname{ham}(f) segue esses contornos (órbitas fechadas perto de mínimos, ramos hiperbólicos nas selas) e \operatorname{grad}(f) cruza esses contornos ortogonalmente (com y variando exponencialmente e x aproximando múltiplos de \pi).
(v) Para g(x,y)=x^{2}+y^{2}+a(x^{3}-x y^{2}): \operatorname{grad}(g)=(2x+a(3x^{2}-y^{2}),\,2y-2axy), \operatorname{ham}(g)=(-2y+2axy,\,2x+a(3x^{2}-y^{2})). O ponto (0,0) é sempre um mínimo local (Hessiano positivo), logo perto da origem as curvas de nível são aproximadamente circulares e \operatorname{ham}(g) tem órbitas quase circulares enquanto \operatorname{grad}(g) é aproximadamente radial. Para a\neq0 surgem outros pontos críticos em \big(-\tfrac{2}{3a},0\big) e em \big(\tfrac{1}{a},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{|a|}\big), que deformam fortemente as curvas de nível e as órbitas de \operatorname{ham}(g). Para |a| pequeno as deformações ocorrem longe da origem (comportamento quase radial/rotacional perto da origem); para |a| maior as deformações e novas estruturas (selas, pólos, ilhas de órbitas fechadas) aparecem próximas à origem, e o sinal de a desloca essas estruturas para lados opostos do eixo y.

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