Seja
uma função de classe
com
.
Defina os campos de vetores
e
.
i) Mostre que os campos
e ham(f) são ortogonais.
ii) Mostre que as curvas integrais de ham(f) coincidem com as curvas de nível de
.
iii) Mostre que as curvas integrais de grad(f) são ortogonais as curvas de nível de
.
iv) Seja
. Esboce as curvas integrais de
e ham(f).
v) Seja
,
uma constante fixada. Esboce as curvas integrais de
e ham(g). Analise para vários valores de
.
i) Mostre que os campos
ii) Mostre que as curvas integrais de ham(f) coincidem com as curvas de nível de
iii) Mostre que as curvas integrais de grad(f) são ortogonais as curvas de nível de
iv) Seja
v) Seja
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
de classe com . - Define-se o gradiente como
e o campo “hamiltoniano” como .
O que é pedido:
i) Mostrar que e
são ortogonais (em cada ponto).
ii) Mostrar que as curvas integrais de coincidem com as curvas de nível de
.
iii) Mostrar que as curvas integrais de são ortogonais às curvas de nível de
.
iv) Para : esboçar (descrever) as curvas integrais de
e
.
v) Para com
constante: esboçar as curvas integrais de
e
e analisar para vários valores de
.
i) Mostrar que
ii) Mostrar que as curvas integrais de
iii) Mostrar que as curvas integrais de
iv) Para
v) Para
Agora vou provar e explicar tudo passo a passo, com as ideias e cálculos necessários.
Passo 2
(i) Prova que
e
são ortogonais.
Primeiro, o que significa “ortogonais” em
? Dois vetores
e
são ortogonais se o produto escalar deles for zero:
Agora calcule o produto escalar entre
e
. As componentes são
e
. Então:
Simplificando:
Assim, o produto escalar é zero em todo ponto, logo os campos são ortogonais em cada ponto onde estão definidos. Isso conclui (i).
Observação didática rápida:
é simplesmente a rotação de
por
(no sentido anti-horário) porque a rotação
aplicada a
dá
. Rotação preserva norma e torna o vetor ortogonal ao original.
Passo 3
(ii) Mostrar que as curvas integrais de
coincidem com as curvas de nível de
.
Primeiro, definir curva integral. Uma curva
é integral de um campo de vetores
se satisfaz a equação diferencial
isto é, a derivada temporal da curva é o vetor do campo no ponto.
Agora seja
uma curva integral de
. Considere a variação de
ao longo de
:
Mas
, então
Pelo passo anterior esse produto escalar é
. Logo
o que significa que
é constante ao longo de
. Portanto a curva
fica confinada a um nível de
(isto é, dentro de uma curva de nível
). Assim toda curva integral de
é contida numa curva de nível de
.
Para ver que as curvas integrais de
realmente coincidem com as curvas de nível (não apenas estão contidas nelas), observe que uma curva de nível regular
tem, em cada ponto regular (onde
), um espaço tangente de dimensão 1 formado por vetores
que satisfazem
. Em
o conjunto de vetores ortogonais a
é uma reta unidimensional, e
é um vetor não-nulo (quando
) nessa direção ortogonal (pois já provamos que é ortogonal). Portanto, a orientação tangente da curva de nível coincide (até fator escalar) com
. Assim, integrando o campo
obtemos exatamente as curvas de nível (com possível orientação e reparametrização). Conclui-se que curvas integrais de
são as curvas de nível de
.
Didática: é útil pensar que
é tangente às curvas onde
é constante; por isso chamar de “hamiltoniano” tem sentido: em sistemas hamiltonianos a energia
é constante e o campo
é tangente às curvas de nível de
.
Passo 4
(iii) Mostrar que as curvas integrais de
são ortogonais às curvas de nível de
.
Novamente, seja
curva integral de
. Então
. A derivada de
ao longo de
é
Assim
, e é estritamente positiva em pontos onde
. Isso implica que
cresce (ou decresce se escolhermos
) estritamente ao longo das curvas integrais: as curvas de gradiente cruzam as curvas de nível aumentando
. Geometricamente, a direção do vetor gradiente é a direção de máximo crescimento de
e, por definição, é ortogonal ao espaço tangente da curva de nível (porque vetores tangentes satisfazem
). Logo as curvas integrais de
encontram as curvas de nível de forma ortogonal (quando
).
Didática curta: gradiente = direção de subida mais rápida; curvas de nível = contornos; subida mais rápida é perpendicular ao contorno.
Passo 5
Comentário interpretativo (ajuda a desenhar depois):
é a rotação em
de
. Assim
é tangente às curvas de nível (muda
sem mudar
), enquanto
aponta perpendicularmente através das curvas de nível aumentando
. Esta visão geométrica ajuda a esboçar os dois campos sem resolver ODEs exatamente.
Passo 6
(iv) Estudo concreto de
. Cálculos iniciais:
Calcule as derivadas parciais:
Então
Análise das curvas de nível
: são as curvas
quando
. Como
, para dado
a equação tem pontos reais somente onde
(e dependendo de
pode ou não ser válida para todo
). Vamos discutir tipos de curvas de nível conforme
:
- Se
não existem pontos reais. - Se
então e , ou seja pontos isolados . - Se
está entre e , a função é não-negativa apenas em certos intervalos de , então as curvas de nível são arcos abertos em volta das regiões onde — em particular não são curvas fechadas em geral. - Se
, então para todo , e define duas curvas contínuas e periódicas (uma acima e outra abaixo), que são abertas no sentido horizontal (não necessariamente fechadas em formato círculo, são funções periódicas).
Classificação de pontos críticos:
quando
e
, isto é em pontos
. O valor de
nesses pontos é
. O Hessiano em
tem entradas
e
, e
. Em
:
- Para
par (ou seja ), então , então o Hessiano tem sinais opostos : determinante negativa ponto de sela. - Para
ímpar (ou seja ), então e Hessiano diag positivo: ponto mínimo.
Portanto há pontos de sela e mínimos alternados ao longo do eixo
.
Agora descrever os campos integrais:
-
Curvas integrais de
: são exatamente as curvas de nível que vimos acima. Perto de um ponto mínimo (por exemplo se for mínimo), as curvas de nível são fechadas em volta do mínimo (pequenas elipses/casos análogos), então tem órbitas fechadas periódicas em volta de mínimos. Perto de um ponto de sela (por exemplo ), as curvas de nível têm formato de hipérbole (porque Hessiano com determinante negativo), então possui trajetórias que são hipérbolas passando pelo selo — ou seja há separatrizes que cruzam o ponto de sela. Assim qualitativamente: - Ao redor de mínimos: curvas fechadas (órbitas fechadas).
- Em sela: curvas em forma de ramo hiperbólico, com separatrizes.
-
Curvas integrais de
: escrevendo o sistema de ODE para o fluxo do gradiente,
A equação para
é linear e separável:
, então
cresce (ou decresce) exponencialmente, exceto na trajetória
. A equação para
é independente de
:
. Essa última equação tem soluções que tendem para os pontos
conforme
dependendo da condição inicial (é uma equação autônoma com pontos de equilíbrio em
). Assim as curvas integrais do gradiente são curvas que atravessam as curvas de nível perpendicularmente; em
têm comportamento exponencial e em
se aproximam dos valores de
. Em termos de esboço: são trajetórias que saem/entram dos pontos críticos seguindo a direção de subida mais rápida, cruzando os contornos que são hipérbolas ou laços.
Resumo de desenho (como visualizar):
- Desenhe os pontos críticos ao longo do eixo
em . Nos pares há um selo (hipérbolas), nos ímpares há mínimos (óvulos/poços). - Trajetórias de
seguem os contornos: fechadas ao redor de mínimos, hipérbolas nas selas. - Trajetórias de
saem/entram desses pontos ortogonalmente aos contornos, com crescendo/decrescendo exponencialmente e andando para os próximos múltiplos de .
Passo 7
(v) Estudo de
, com
fixado. Cálculos iniciais:
Derivadas parciais:
Logo
Análise geral e pontos críticos (soluções de
):
As equações são
As equações
A segunda equação pode ser fatorada:
portanto
ou
(quando
). Analisemos cada caso:
- Caso
: então a primeira equação fica , isto é
Isto dá duas soluções:
Logo sempre existe o ponto crítico
. Se
aparece também um ponto crítico em
.
- Caso
(supondo ): substituindo na primeira equação
que simplifica para
Isto dá
Portanto, para
existem também dois pontos críticos em
Conclusão sobre existência: para
o único ponto crítico é a origem. Para
aparecem, além da origem, até três outros pontos críticos (dependendo do sinal de
eles ficam em lugares opostos no plano): um ao longo do eixo
em
e dois simétricos em torno do eixo
em
.
Classificação local perto da origem:
- Calcule o Hessiano de
:
No ponto
isso dá
. Logo o Hessiano é
em
, que é definido positivo. Assim
é um mínimo local estrito para qualquer
. Isso implica que:
- Perto da origem, as curvas de nível de
são aproximadamente círculos (porque os termos quadráticos dominam), e assim tem órbitas aproximadamente circulares fechadas ao redor da origem, enquanto aponta radialmente para fora (saindo do mínimo) ou para dentro (dependendo do sentido temporal).
Efeito do parâmetro
:
- Para
: . Então é exatamente radial e as integrais são semirretas saindo/entrando do origem; é o campo rotacional puro com órbitas círculos centradas na origem (movimento angular uniforme). - Para
(pequeno): os termos cúbicos são pequenas perturbações. A geometria perto da origem permanece qualitativamente igual (níveis quase circulares, órbitas quase circulares), mas para níveis maiores (distantes da origem) aparecem deformações e as novas singularidades (pontos críticos fora da origem) podem criar órbitas adicionais, separatrizes e mudanças topológicas nas curvas de nível. - Para valores maiores de
essas perturbações tornam-se dominantes em regiões onde são da ordem (porque as soluções críticas apareciam em escala ). Assim dependendo de : - Novos mínimos/selas podem surgir longe da origem e gerar laços fechados de
em torno desses novos mínimos. - Separatrizes (linhas separando diferentes tipos de órbitas) aparecem conectando pontos de sela; isso altera fortemente o padrão global do campo
.
- Novos mínimos/selas podem surgir longe da origem e gerar laços fechados de
- Sobre o sinal de
: trocar por espelha a localização dos pontos críticos na direção (os pontos críticos listados mudam de sinal em ); em termos de esboço, isso inverte a orientação das deformações (os lóbulos surgem para lados opostos).
Esboço qualitativo por casos:
- Caso
: = círculos concêntricos; = radiais. - Caso
pequeno: próximo à origem comportamento parecido com ; para raios maiores as curvas de nível se deformam levemente (círculos “esticados”), e pode haver pontos críticos distantes com pequenas ilhas de órbitas fechadas ou saddles com separatrizes. - Caso
moderado a grande: as deformações são fortes; as órbitas de podem se ligar e formar estruturas complexas (laços em torno de novos mínimos, trajetórias que circulam em torno de vários centros, separatrizes ligando selas). A localização dos novos pontos críticos é aproximadamente em da ordem (veja as fórmulas dos pontos críticos), por isso para pequeno eles ficam longe; para grande ficam próximos, mudando rapidamente o padrão próximo da origem.
Resumo prático para desenhar:
- Marcar a origem — sempre mínimo local.
- Para
marcar também e . - Perto da origem: desenhar curvas quase circulares (níveis baixos) e setas radiais para o grad.
- A partir dos pontos críticos adicionais desenhar pequenos poços/selas conforme indicam os sinais do Hessiano local (poderá ser necessário calcular o Hessiano nesses pontos para classificar cada um; a existência já explica a alteração topológica).
- Para
as deformações aparecem para positivo (pois ), para aparecem no lado negativo; isso muda onde surgem ilhas/selas.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para intuição (opcionais, mas ajudam a imaginar):
- Se
as novas singularidades estão aproximadamente em (longe), então perto da origem o campo parece radial/rotacional com leve deformação. - Se
as singularidades estão em e , então já são visíveis próximas ao tipo de figura global, criando bolsões e separatrizes. - Se
as posições trocam de sinal e os bolsões aparecem do outro lado do eixo .
Resposta
(i)
e
são ortogonais em todo ponto, pois
.
(ii) As curvas integrais de
coincidem com as curvas de nível de
(pois
).
(iii) As curvas integrais de
são ortogonais às curvas de nível de
(pois a derivada de
ao longo de uma integral de
é
, e
é por definição perpendicular aos vetores tangentes às curvas de nível).
(iv) Para
:
,
. As curvas de nível
são hipérbolas perto dos pontos de sela
e laços fechados em torno dos mínimos
. Assim
segue esses contornos (órbitas fechadas perto de mínimos, ramos hiperbólicos nas selas) e
cruza esses contornos ortogonalmente (com
variando exponencialmente e
aproximando múltiplos de
).
(v) Para
:
,
. O ponto
é sempre um mínimo local (Hessiano positivo), logo perto da origem as curvas de nível são aproximadamente circulares e
tem órbitas quase circulares enquanto
é aproximadamente radial. Para
surgem outros pontos críticos em
e em
, que deformam fortemente as curvas de nível e as órbitas de
. Para
pequeno as deformações ocorrem longe da origem (comportamento quase radial/rotacional perto da origem); para
maior as deformações e novas estruturas (selas, pólos, ilhas de órbitas fechadas) aparecem próximas à origem, e o sinal de
desloca essas estruturas para lados opostos do eixo
.