Utilizando a técnica da integração por partes na integral indefinida, encontre as integrais indefinidas:
\int x e^{3 x} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumindo claramente):
  • Dado o integral indefinido \displaystyle \int x e^{3 x}\,dx.
  • O pedido é encontrar uma primitiva (a integral indefinida) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{3x}.

Passo 2

Apresentando a técnica que vamos usar (fórmula e ideia por trás, explicada devagarinho).
A integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx.
Rearranjando, a fórmula de integração por partes é
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Explicando as notações: escolhemos duas partes da integral, escrevemos u(x) para a parte que será derivada (vai gerar u'(x)) e escrevemos v'(x)\,dx para a parte que será integrada (vai gerar v(x)). A escolha é uma estratégia — normalmente escolhe-se u(x) como uma função que fica mais simples ao derivar (por exemplo polinômios) e v'(x) como algo fácil de integrar (por exemplo exponenciais, senos, cossenos).

Passo 3

Escolha das funções u(x) e v'(x) para o nosso integral.
Temos \displaystyle \int x e^{3x}\,dx. Pela heurística (polinômio \to derive; exponencial \to integre), escolhemos:
u(x)=x,\qquad v'(x)=e^{3x}.
Assim:
u'(x)=\frac{d}{dx}x = 1.

Passo 4

Calcular v(x), ou seja, integrar v'(x)=e^{3x}.
Regra geral: \displaystyle \int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C para constante a\neq0. Aqui a=3. Logo
v(x)=\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Mostrando rapidamente por substituição: se t=3x então dt=3\,dx e dx=\frac{dt}{3}, assim \int e^{3x}\,dx=\int e^{t}\frac{dt}{3}=\frac{1}{3}e^{t}=\frac{1}{3}e^{3x}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx.
Substituindo nossas escolhas:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int 1\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
Simplificando:
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx.

Passo 6

Calcular a última integral e simplificar. Já sabemos que \int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}. Então
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração. Assim
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Fatorando e^{3x} fica uma forma mais compacta:
\int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{9}\big(3x-1\big) + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar): seja F(x)=\dfrac{e^{3x}}{9}(3x-1). Usando regra do produto,
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\big(e^{3x}\big)\cdot\frac{3x-1}{9} + e^{3x}\cdot\frac{d}{dx}\!\bigg(\frac{3x-1}{9}\bigg).
Como \dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x} e \dfrac{d}{dx}\!\big(\frac{3x-1}{9}\big)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}, obtemos
F'(x)=3e^{3x}\cdot\frac{3x-1}{9} + e^{3x}\cdot\frac{1}{3} = e^{3x}\bigg(\frac{3(3x-1)}{9}+\frac{1}{3}\bigg).
Simplificando o parêntese:
\frac{3(3x-1)}{9}+\frac{1}{3} = \frac{3x-1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{3x}{3}=x.
Logo F'(x)=x e^{3x}, que é a integranda — verificação ok.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{3x}}{9}\big(3x-1\big)+C

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