Utilizando a técnica da integração por partes na integral indefinida, encontre as integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumindo claramente):
- Dado o integral indefinido
. - O pedido é encontrar uma primitiva (a integral indefinida) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Apresentando a técnica que vamos usar (fórmula e ideia por trás, explicada devagarinho).
A integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se e
são funções diferenciáveis, então
A integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Rearranjando, a fórmula de integração por partes é
Explicando as notações: escolhemos duas partes da integral, escrevemos
para a parte que será derivada (vai gerar
) e escrevemos
para a parte que será integrada (vai gerar
). A escolha é uma estratégia — normalmente escolhe-se
como uma função que fica mais simples ao derivar (por exemplo polinômios) e
como algo fácil de integrar (por exemplo exponenciais, senos, cossenos).
Passo 3
Escolha das funções
e
para o nosso integral.
Temos . Pela heurística (polinômio
derive; exponencial
integre), escolhemos:
Temos
Assim:
Passo 4
Calcular
, ou seja, integrar
.
Regra geral: para constante
. Aqui
. Logo
Regra geral:
Mostrando rapidamente por substituição: se
então
e
, assim
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo nossas escolhas:
Simplificando:
Passo 6
Calcular a última integral e simplificar. Já sabemos que
. Então
onde
é a constante de integração. Assim
Fatorando
fica uma forma mais compacta:
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar): seja
. Usando regra do produto,
Como
e
, obtemos
Simplificando o parêntese:
Logo
, que é a integranda — verificação ok.