Seja
uma função contínua tal que
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
contínua com
e
.
Queremos provar que , ou seja, que para todo
existe
tal que
.
Usaremos a definição de limite no infinito e o Teorema do Valor Intermediário.
Queremos provar que
Usaremos a definição de limite no infinito e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Seja arbitrário
. Precisamos mostrar que existe
com
.
Passo 3
Pela definição de
, existe
tal que, para todo
,
Analogamente, como
, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Considere o intervalo fechado
. Temos
e
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Passo 5
Mostramos que para todo
existe
com
. Logo
é sobrejetora e sua imagem é todo
.