Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \quad, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty .
Mostre que \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua com \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.
Queremos provar que \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, ou seja, que para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
Usaremos a definição de limite no infinito e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Seja arbitrário y\in\mathbb{R}. Precisamos mostrar que existe c\in\mathbb{R} com f\text{(c)}=y.

Passo 3

Pela definição de \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, existe A\in\mathbb{R} tal que, para todo x<A,
f(x)<y.
Analogamente, como \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty, existe B\in\mathbb{R} tal que, para todo x>B,
f(x)>y.

Passo 4

Considere o intervalo fechado [A,B]. Temos f(A)<y<f(B) e f é contínua em [A,B]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
c\in (A,B)
tal que
f\text{(c)}=y.

Passo 5

Mostramos que para todo y\in\mathbb{R} existe c\in\mathbb{R} com f\text{(c)}=y. Logo f é sobrejetora e sua imagem é todo \mathbb{R}.

Resposta

\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}

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