2 O símbolo de um grupo de escoteiros é confeccionado com base em um decágono regular inscrito em uma circunferência de raio medindo 10 cm . Com isso, a medida do lado do decágono deve ser de:
(Dado: \cos 36^{\circ}=0,81 )
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm

Passo 1

O enunciado dá um decágono regular inscrito numa circunferência de raio 10 cm e pede a medida do lado do decágono. O conteúdo é geometria de polígonos regulares e vamos usar a relação entre o lado, o raio e o seno do ângulo central.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R, cada lado é uma corda correspondente a um ângulo central de \tfrac{360^\circ}{n}. No nosso caso n=10, logo o ângulo central é
\theta = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ.
A fórmula para o comprimento da corda é
s = 2R \sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)
portanto
s = 2\cdot 10 \,\sin 18^\circ = 20\,\sin 18^\circ.

Passo 3

Para encontrar \sin 18^\circ usamos a identidade de semângulo:
\sin 18^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 36^\circ}{2}}.
Como \cos 36^\circ = 0,81, temos
\sin 18^\circ = \sqrt{\frac{1 - 0,81}{2}} = \sqrt{\frac{0,19}{2}} = \sqrt{0,095} \approx 0,308.

Passo 4

Substituindo em s = 20 \sin 18^\circ, obtemos
s \approx 20 \times 0,308 = 6,16\\ \text{cm},
que, entre as opções dadas, corresponde a 6 cm.

Resposta

b) 6 cm

Exercícios relacionados