Seja $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ a função dada por $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y+5$ .
Seja $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ a função dada por $g(x, y)=(2,3) \cdot(x, y)$ . Para $(x, y)$ satisfazendo $x^{2}+y^{2}=1$ , qual é o maior valor possível de $g(x, y)$ ?

O enunciado pede o maior valor de

g(x,y) = (2,3)\cdot(x,y) = 2x + 3y

sujeito à restrição

x^2 + y^2 = 1.

O conteúdo aqui é otimização de produto interno em uma esfera (círculo de raio 1). Podemos usar o Desigualdade de Cauchy–Schwarz para resolver.

A Desigualdade de Cauchy–Schwarz em

\mathbb{R}^2

diz que, para quaisquer vetores

\mathbf{u}

\mathbf{v}

\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} \le \|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|.

Tomando

\mathbf{u}=(2,3)

\mathbf{v}=(x,y)

, temos

2x+3y = (2,3)\cdot(x,y) \le \|(2,3)\|\;\|(x,y)\|.

Calculamos as normas:

\|(2,3)\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13},

e, pela restrição,

\|(x,y)\| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1.

Logo

2x + 3y \le \sqrt{13}\cdot 1 = \sqrt{13}.

A igualdade ocorre quando

(x,y)

é paralelo a

(2,3)

, ou seja

(x,y) = \frac{1}{\sqrt{13}}(2,3).

O maior valor possível de

g(x,y)

x^2 + y^2 = 1

\sqrt{13}

Exercícios relacionados

f(x, y)=3 x^{1 / 3} y^{2 / 3}

x>0

y>0

f

f

(8,1, f(8,1))

\mathcal{C}

f

f(x, y)=6

\mathcal{C}

(8,1)

u(t)=(x(t), y(t))

g(t)=f(u(t))

u(7)=(8,1)

u^{\prime}(7)=(-5,13)

g^{\prime}(7)

f

(8,1)

\vec{v}=(-5,13)

f

(8,1)

\vec{u}=\vec{v} /\|\vec{v}\|)