Seja $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ a função dada por $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y+5$ .
Sejam $A$ um ponto tal que $\nabla f(A)=(2,3)$ e $\vec{u}=(7,-8)$ . Determine a derivada direcional de $f$ em $A$ , na direção de $\vec{u}$ (ou seja, a taxa de variação de $f$ em $A$ na direção de $\vec{u})$ .

O enunciado nos dá a função

f(x,y)=x^3+y^3-3xy+5

, informa que em algum ponto

A

temos

\nabla f(A)=(2,3)

e fornece o vetor

\vec u=(7,-8)

. Queremos a derivada direcional de

f

A

na direção de

\vec u

, ou seja

D_{\vec u}f(A)=\nabla f(A)\cdot\frac{\vec u}{\|\vec u\|}.

Calculamos o comprimento de

\vec u

\|\vec u\|=\sqrt{7^2+(-8)^2}=\sqrt{49+64}=\sqrt{113}.

Agora aplicamos a definição da derivada direcional:

D_{\vec u}f(A) =(2,3)\cdot\frac{(7,-8)}{\sqrt{113}} =\frac{2\cdot7+3\cdot(-8)}{\sqrt{113}} =\frac{14-24}{\sqrt{113}} =-\frac{10}{\sqrt{113}}.

-\frac{10}{\sqrt{113}}

Exercícios relacionados

f(x, y)=3 x^{1 / 3} y^{2 / 3}

x>0

y>0

f

f

(8,1, f(8,1))

\mathcal{C}

f

f(x, y)=6

\mathcal{C}

(8,1)

u(t)=(x(t), y(t))

g(t)=f(u(t))

u(7)=(8,1)

u^{\prime}(7)=(-5,13)

g^{\prime}(7)

f

(8,1)

\vec{v}=(-5,13)

f

(8,1)

\vec{u}=\vec{v} /\|\vec{v}\|)