Considere a função $f(x, y)=3 x^{1 / 3} y^{2 / 3}$ definida para $x>0$ e $y>0$ .
(a) Esboce as curvas de nível da função $f$ .
(b) Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(8,1, f(8,1))$ .
(c) Seja $\mathcal{C}$ a curva de nível de $f$ dada por $f(x, y)=6$ . Determine um vetor tangente à curva $\mathcal{C}$ no ponto $(8,1)$ .
(d) Sejam $u(t)=(x(t), y(t))$ uma função derivável e a função composta $g(t)=f(u(t))$ . Suponha que $u(7)=(8,1)$ e $u^{\prime}(7)=(-5,13)$ . Calcule $g^{\prime}(7)$ .
(e) Determine a taxa de variação de $f$ em $(8,1)$ na direção do vetor $\vec{v}=(-5,13)$ (ou seja, a derivada direcional de $f$ em $(8,1)$ com relação ao vetor $\vec{u}=\vec{v} /\|\vec{v}\|)$ .

O enunciado define a função

f(x,y)=3\,x^{1/3}y^{2/3},\quad x>0,\;y>0,

e pede:
(a) esboçar as curvas de nível de

f

;
(b) achar o plano tangente ao gráfico em

(8,1,f(8,1))

;
(c) encontrar um vetor tangente à curva de nível

f(x,y)=6

(8,1)

;
(d) usar a regra da cadeia para

g(t)=f(u(t))

com

u(7)=(8,1)

u'(7)=(-5,13)

;
(e) calcular a derivada direcional de

f

(8,1)

na direção de

\vec v=(-5,13)

Para (a), em geral a curva de nível

f(x,y)=k

satisfaz

3\,x^{1/3}y^{2/3}=k \quad\Longrightarrow\quad y^{2/3}=\frac{k}{3}\,x^{-1/3} \quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\tfrac{k}{3}\Bigr)^{3/2}x^{-1/2}.

Isso é uma família de curvas decrescentes do tipo

y=C\,x^{-1/2}

(com

C=(k/3)^{3/2}>0

). Para cada

k>0

obtemos uma “hipérbole” suave no primeiro quadrante; valores maiores de

k

deslocam a curva para cima.

Calculamos as derivadas parciais e avaliamos em

(8,1)

f_x =3\cdot\tfrac13\,x^{-2/3}y^{2/3} =x^{-2/3}y^{2/3}, \qquad f_y =3\,x^{1/3}\cdot\tfrac23\,y^{-1/3} =2\,x^{1/3}y^{-1/3}.

(8,1)

temos

f(8,1)=3\cdot8^{1/3}\cdot1^{2/3}=3\cdot2\cdot1=6, \quad f_x(8,1)=8^{-2/3}\cdot1^{2/3}=2^{-2}=\tfrac14, \quad f_y(8,1)=2\cdot2\cdot1=4.

(b) O plano tangente em

(8,1,6)

é dado por

z-6 =f_x(8,1)\,(x-8)+f_y(8,1)\,(y-1) \;\Longrightarrow\; z-6=\tfrac14(x-8)+4(y-1).

\mathcal C\colon f(x,y)=6

tem vetores tangentes

\vec v=(v_1,v_2)

que satisfazem

\nabla f(8,1)\cdot\vec v =f_x(8,1)\,v_1+f_y(8,1)\,v_2 =\tfrac14\,v_1+4\,v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1+16\,v_2=0.

Uma escolha simples é

v_2=1

v_1=-16

, ou seja

\vec v=(-16,1).

(d) Pela regra da cadeia,

g'(7) =f_x(8,1)\,x'(7)+f_y(8,1)\,y'(7) =\tfrac14\cdot(-5)+4\cdot13 =-\tfrac54+52 =\frac{203}{4}.

(e) A derivada direcional de

f

(8,1)

na direção do vetor unitário

\displaystyle\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\frac{(-5,13)}{\sqrt{(-5)^2+13^2}}=\frac{(-5,13)}{\sqrt{194}}

D_{\vec u}f =\nabla f(8,1)\cdot\vec u =\frac{1}{\sqrt{194}}\Bigl(\tfrac14\cdot(-5)+4\cdot13\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{194}}\cdot\frac{203}{4} =\frac{203}{4\sqrt{194}}.

(a) As curvas de nível são

y=\Bigl(\tfrac{k}{3}\Bigr)^{3/2}x^{-1/2},\quad k>0,

hipérboles suaves no primeiro quadrante.

(b)

z-6=\tfrac14(x-8)+4(y-1).

\bigl(-16,1\bigr).

(d)

g'(7)=\tfrac{203}{4}.

(e)

D_{\vec u}f(8,1)=\dfrac{203}{4\sqrt{194}}.

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