Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x)=a x^{2}+b x, sendo a e b constantes reais. Sabendo que a tangente à curva y=f(x) no ponto ( 1,5 ) tem inclinação m=8, podemos afirmar que o produto a b é:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a x^{2}+b x
e informa que a reta tangente ao seu gráfico no ponto (1,5) tem inclinação m=8. Vamos usar duas ideias principais:
  1. O fato de (1,5) pertencer à curva implica que f(1)=5.
  2. A inclinação da tangente é dada pela derivada f'(x), de modo que f'(1)=8.

Passo 2

Usando que (1,5) está na curva, temos
f(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1 = a + b = 5.

Passo 3

Calculamos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a x^{2}+b x\bigr)=2a x + b,
e impondo f'(1)=8 obtemos
2a\cdot1 + b = 2a + b = 8.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\\\ 2a + b = 8, \end{cases}
subtraímos a primeira equação da segunda para achar a:
(2a+b)-(a+b)=8-5\quad\Longrightarrow\quad a=3.
Em seguida, de a+b=5 segue b=5-3=2.

Passo 5

Com a=3 e b=2, o produto vale
a\,b = 3\cdot 2 = 6.

Resposta

6

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