O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y=f(x), definida implicitamente por \left(1+\cos \left(x^{2} y^{2}\right)\right)^{2}+x+y=5, no ponto de ordenada y=0, e igual a:

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
\bigl(1+\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)\bigr)^{2} + x + y = 5
e pede o coeficiente angular y'=\tfrac{dy}{dx} no ponto onde y=0.

Passo 2

Para encontrar a abscissa desse ponto, substituímos y=0 na equação:
\bigl(1+\cos( x^{2}\cdot 0^{2})\bigr)^{2} + x + 0 =5
Como \cos(0)=1, temos (1+1)^{2}+x=5, ou seja 4+x=5, logo x=1. O ponto é (1,0).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Seja
u(x,y)=1+\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr),
então a equação é u^{2}+x+y=5. Derivando:
2\,u\cdot u' + 1 + y' = 0.
Para u' usamos a cadeia:
u' = -\sin\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) = -\sin\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)\bigl(2x\,y^{2} + 2x^{2}y\,y'\bigr).

Passo 4

Em (1,0) temos x^{2}y^{2}=0, logo \sin(0)=0 e u=1+\cos(0)=2. Assim u'=0 e a derivada implícita vira
2\cdot 2\cdot 0 +1 + y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -1.

Resposta

-1

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