Seja f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=\frac{x^{2}+8}{x+1}
Determine onde f é crescente e onde f é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de f de acordo com o teste da primeira derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{x^{2}+8}{x+1}.
O que se pede:
  • Determinar onde f é crescente e onde f é decrescente.
  • Obter e classificar os pontos críticos de f usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de f(x) para todos os x exceto x=-1 (domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}).
  • O ponto x=-1 não pertence ao domínio (possível assíntota vertical).
  • As respostas pedidas dependem do sinal da derivada f'(x) e das raízes/indefinições da derivada.

Passo 2

Primeiro simplifico a função para facilitar a derivação. Faço divisão polinomial de x^{2}+8 por x+1:
\frac{x^{2}+8}{x+1}=x-1+\frac{9}{x+1}.
Verificação rápida: (x+1)(x-1)=x^{2}-1, subtraindo de x^{2}+8 sobra 9, logo a decomposição está correta.
Essa forma é útil porque deriva-se termo a termo com regras básicas.

Passo 3

Derivo f passo a passo usando regras elementares:
  • Derivada de x-1 é 1.
  • Escrevo \dfrac{9}{x+1}=9(x+1)^{-1}. Pela regra da potência/cadeia, a derivada é -9(x+1)^{-2}.
Portanto,
f'(x)=1-9(x+1)^{-2} = 1-\frac{9}{(x+1)^{2}}.
Também posso reescrever f'(x) com denominador comum para analisar o sinal:
f'(x)=\frac{(x+1)^{2}-9}{(x+1)^{2}}.
Expandindo e fatorando o numerador:
(x+1)^{2}-9 = x^{2}+2x+1-9 = x^{2}+2x-8 = (x-2)(x+4).
Logo
f'(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Encontro os pontos onde f'(x)=0 e onde f' é indefinida (dentro do domínio).
  • Zeros da derivada: resolver f'(x)=0 (x-2)(x+4)=0, então x=2 e x=-4. Ambos pertencem ao domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • Pontos onde f' é indefinida: ocorre em x=-1 porque o denominador (x+1)^{2} zera; porém x=-1 já não pertence ao domínio da função, portanto não é considerado ponto crítico da função (ponto crítico deve pertencer ao domínio).
Conclusão: os pontos críticos (no sentido de pontos do domínio onde f' é zero ou indefinida) contidos no domínio são x=-4 e x=2.

Passo 5

Para estudar monotonicidade uso o sinal de f'(x). Note que (x+1)^{2}>0 para todo x\neq-1, então o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador (x-2)(x+4).
Analiso os intervalos determinados pelas raízes -4 e 2 e pela exclusão -1:
  • Intervalos relevantes: (-\infty,-4), (-4,-1), (-1,2), (2,\infty).
Escolho pontos para testar o sinal do numerador (x-2)(x+4):
  • Para x<-4 (ex.: x=-5): (x-2)<0 e (x+4)<0 ⇒ produto >0. Assim f'(x)>0 em (-\infty,-4).
  • Para -4<x<2 (ex.: x=0): (x-2)<0 e (x+4)>0 ⇒ produto <0. Como esse intervalo contém -1 que não é da função, separamos: em (-4,-1) e em (-1,2) o produto continua negativo, logo f'(x)<0 nesses dois subintervalos.
  • Para x>2 (ex.: x=3): (x-2)>0 e (x+4)>0 ⇒ produto >0. Assim f'(x)>0 em (2,\infty).
Portanto:
  • f'(x)>0 em (-\infty,-4) e em (2,\infty) f é crescente nesses intervalos.
  • f'(x)<0 em (-4,-1) e em (-1,2) f é decrescente nesses intervalos.
Observação: o ponto x=-1 separa os intervalos porque não pertence ao domínio; a função tem comportamento divergente ali (assíntota vertical).

Passo 6

Aplico o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos:
  • Em x=-4: à esquerda (em (-\infty,-4)) f'>0 e à direita (em (-4,-1)) f'<0. Mudança +\to- indica que x=-4 é um ponto de máximo local.
    Calculo f(-4) usando a forma simplificada f(x)=x-1+\dfrac{9}{x+1}:
    f(-4)= -4-1+\frac{9}{-3} = -5-3=-8.
    Então ponto crítico (-4,-8) é máximo local.
  • Em x=2: à esquerda (em (-1,2)) f'<0 e à direita (em (2,\infty)) f'>0. Mudança -\to+ indica que x=2 é um ponto de mínimo local.
    Calculo
    f(2)=2-1+\frac{9}{3}=1+3=4.
    Então ponto crítico (2,4) é mínimo local.

Passo 7

Resumo final (para guardar na prova):
  • Fatorização de f' que usamos: \displaystyle f'(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^{2}}.
  • Resultado do estudo de monotonicidade e classificação pelo teste da primeira derivada está nos itens finais abaixo.

Resposta

f é crescente em (-\infty,-4) e em (2,\infty).\n
f é decrescente em (-4,-1) e em (-1,2).\n
Ponto crítico x=-4: máximo local em (-4,-8).\n
Ponto crítico x=2: mínimo local em (2,4).

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