Seja
onde
Determine onde
é crescente e onde
é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
de acordo com o teste da primeira derivada.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar onde
é crescente e onde é decrescente. - Obter e classificar os pontos críticos de
usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes dadas:
- A expressão de
para todos os exceto (domínio: ). - O ponto
não pertence ao domínio (possível assíntota vertical). - As respostas pedidas dependem do sinal da derivada
e das raízes/indefinições da derivada.
Passo 2
Primeiro simplifico a função para facilitar a derivação. Faço divisão polinomial de
por
:
Verificação rápida:
, subtraindo de
sobra
, logo a decomposição está correta.
Essa forma é útil porque deriva-se termo a termo com regras básicas.
Passo 3
Derivo
passo a passo usando regras elementares:
- Derivada de
é . - Escrevo
. Pela regra da potência/cadeia, a derivada é .
Portanto,
Também posso reescrever
com denominador comum para analisar o sinal:
Expandindo e fatorando o numerador:
Logo
Passo 4
Encontro os pontos onde
e onde
é indefinida (dentro do domínio).
- Zeros da derivada: resolver
dá , então e . Ambos pertencem ao domínio . - Pontos onde
é indefinida: ocorre em porque o denominador zera; porém já não pertence ao domínio da função, portanto não é considerado ponto crítico da função (ponto crítico deve pertencer ao domínio).
Conclusão: os pontos críticos (no sentido de pontos do domínio onde
é zero ou indefinida) contidos no domínio são
e
.
Passo 5
Para estudar monotonicidade uso o sinal de
. Note que
para todo
, então o sinal de
é o mesmo do numerador
.
Analiso os intervalos determinados pelas raízes
e
e pela exclusão
:
- Intervalos relevantes:
, , , .
Escolho pontos para testar o sinal do numerador
:
- Para
(ex.: ): e ⇒ produto . Assim em . - Para
(ex.: ): e ⇒ produto . Como esse intervalo contém que não é da função, separamos: em e em o produto continua negativo, logo nesses dois subintervalos. - Para
(ex.: ): e ⇒ produto . Assim em .
Portanto:
-
em e em ⇒ é crescente nesses intervalos. -
em e em ⇒ é decrescente nesses intervalos.
Observação: o ponto
separa os intervalos porque não pertence ao domínio; a função tem comportamento divergente ali (assíntota vertical).
Passo 6
Aplico o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos:
-
Em
: à esquerda (em ) e à direita (em ) . Mudança indica que é um ponto de máximo local.
Calculousando a forma simplificada : Então ponto críticoé máximo local. -
Em
: à esquerda (em ) e à direita (em ) . Mudança indica que é um ponto de mínimo local.
CalculoEntão ponto críticoé mínimo local.
Passo 7
Resumo final (para guardar na prova):
- Fatorização de
que usamos: . - Resultado do estudo de monotonicidade e classificação pelo teste da primeira derivada está nos itens finais abaixo.
Resposta
Ponto crítico
Ponto crítico