Sejam os operadores lineares T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, verifique se eles são ou não inversíveis. Caso sejam inversíveis, apresente a matriz da sua transformação inversa. T(x, y)=(x-y, 2 x+3 y)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x-y,\;2x+3y)
é inversível. Caso seja inversível, devo apresentar a matriz da transformação inversa T^{-1}.
Informações dadas:
T(x,y)=(x-y,\;2x+3y).
O que preciso entregar:
Determinar se T é inversível (sim ou não).
Se for inversível, fornecer a matriz de T^{-1} (na base canônica).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica. Para isso, observo as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
Imagem de \mathbf{e}_1:
T(1,0)=(1-0,\;2\cdot1+3\cdot0)=(1,\;2).
Imagem de \mathbf{e}_2:
T(0,1)=(0-1,\;2\cdot0+3\cdot1)=(-1,\;3).
Como as colunas da matriz A de T (na base canônica) são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), tenho
Agora explico o critério de invertibilidade que vou usar (aula rápida): para uma transformação linear em \mathbb{R}^2 representada por uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
ela é inversível se, e somente se, o determinante \det=\;ad-bc for diferente de zero. Se \det\neq0, a inversa da matriz é dada pela fórmula (fórmula padrão para inversa de 2\times2):
Interpretação prática: a transformação inversa T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 age sobre um vetor (u,v) (imagem) produzindo (x,y)=T^{-1}(u,v). Pela matriz acima,