Sejam os operadores lineares T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, verifique se eles são ou não inversíveis. Caso sejam inversíveis, apresente a matriz da sua transformação inversa.
T(x, y)=(x-y, 2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x-y,\;2x+3y)
é inversível. Caso seja inversível, devo apresentar a matriz da transformação inversa T^{-1}.
Informações dadas:
T(x,y)=(x-y,\;2x+3y).
O que preciso entregar:
  1. Determinar se T é inversível (sim ou não).
  2. Se for inversível, fornecer a matriz de T^{-1} (na base canônica).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica. Para isso, observo as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
Imagem de \mathbf{e}_1:
T(1,0)=(1-0,\;2\cdot1+3\cdot0)=(1,\;2).
Imagem de \mathbf{e}_2:
T(0,1)=(0-1,\;2\cdot0+3\cdot1)=(-1,\;3).
Como as colunas da matriz A de T (na base canônica) são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), tenho
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora explico o critério de invertibilidade que vou usar (aula rápida): para uma transformação linear em \mathbb{R}^2 representada por uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
ela é inversível se, e somente se, o determinante \det=\;ad-bc for diferente de zero. Se \det\neq0, a inversa da matriz é dada pela fórmula (fórmula padrão para inversa de 2\times2):
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz conforme posição (linha, coluna).]

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante à matriz A:
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix},
temos
\det(A)=1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3 + 2 = 5.
Como \det(A)=5\neq 0, concluímos que T é inversível.]

Passo 5

Agora, usando a fórmula da inversa para matrizes 2\times2, com a=1, b=-1, c=2, d=3, obtenho
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação prática: a transformação inversa T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 age sobre um vetor (u,v) (imagem) produzindo (x,y)=T^{-1}(u,v). Pela matriz acima,
T^{-1}(u,v)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[4pt] v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3u+v}{5}\\[8pt]\dfrac{-2u+v}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (cheque que vale na prova): multiplicando A por A^{-1} devo obter a matriz identidade I_2.
Calculo
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1\cdot3+(-1)(-2) & 1\cdot1+(-1)\cdot1\\[6pt] 2\cdot3+3(-2) & 2\cdot1+3\cdot1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3+2 & 1-1\\[6pt] 6-6 & 2+3\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto a inversa está correta.]

Resposta

T é inversível (sim).\n T^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix},
ou, em forma de aplicação,
T^{-1}(u,v)=\left(\dfrac{3u+v}{5},\;\dfrac{-2u+v}{5}\right).]

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