A função dada por
, se
, e
é contínua na origem? Justifique.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
f é contínua na origem. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis, que exige que
]
Passo 2
Pelo conceito,
é contínua em
se e somente se
existe e vale zero. Para testar existência de limite em , um modo eficaz é verificar se esse limite depende da direção de aproximação.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares:
com
r>0 . Então
Logo, para
rneq0 ,
Observe que o denominador nunca se anula, pois
sinthetacosthetain[-tfrac12,tfrac12] implica
1+sinthetacostheta>=tfrac12>0 .
Passo 4
O valor de
depende de
theta . Por exemplo, para
theta=0 (aproximação pelo eixo
x ) obtemos
enquanto para
theta=tfracpi4 (reta
y=x ) temos
sin2theta=1 e
Passo 5
Como o valor do limite varia conforme a direção (
0 ao longo do eixo
x e
tfrac13 ao longo de
y=x ), o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Portanto não é igual a
f(0,0)=0 .
Resposta
A função
f não é contínua na origem.