A função dada por f(x, y)=x yx^2+x y+y^2, se x^2+x y+y^2 neq 0, e f(0,0)=0 é contínua na origem? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,yx^2+x,y+y^2,&x^2+x,y+y^2neq0,[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua na origem. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis, que exige que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
]

Passo 2

Pelo conceito, é contínua em se e somente se
existe e vale zero. Para testar existência de limite em , um modo eficaz é verificar se esse limite depende da direção de aproximação.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
com r>0. Então
x^2+x,y+y^2 =r^2l(cos^2theta+costhetasintheta+sin^2thetar) =r^2l(1+sinthetacosthetar)
Logo, para rneq0,
f(rcostheta,rsintheta) =r^2costhetasinthetar^2(1+sinthetacostheta) =costheta,sintheta1+sinthetacostheta
Observe que o denominador nunca se anula, pois sinthetacosthetain[-tfrac12,tfrac12] implica 1+sinthetacostheta>=tfrac12>0.

Passo 4

O valor de
costheta,sintheta1+sinthetacostheta
depende de theta. Por exemplo, para theta=0 (aproximação pelo eixo x) obtemos
f(r,0)=0,
enquanto para theta=tfracpi4 (reta y=x) temos sin2theta=1 e
costheta,sintheta1+sinthetacostheta =tfrac121+tfrac12 =13neq0

Passo 5

Como o valor do limite varia conforme a direção ( 0 ao longo do eixo x e tfrac13 ao longo de y=x), o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Portanto não é igual a f(0,0)=0.

Resposta

A função f não é contínua na origem.

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