Qual o trabalho realizado pela força F= x^2 i+y^2 j nos seguintes caminhos:
Do ponto (0,1) ao ponto (0,0), ligados por uma reta.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força vec F(x,y)=x^2hat i+y^2hat j movendo um ponto ao longo da reta de (0,1) até (0,0). O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial e, em particular, reconhecimento de campo conservativo para usar potencial escalar.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, calculamos as derivadas mistas:
partial Fxpartial y=partial (x^2)partial y=0
partial Fypartial x=partial (y^2)partial x=0
Como são iguais e o domínio é simplesmente conexo, vec F é conservativo.

Passo 3

Buscamos um potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Primeiro, integramos em relação a x:
phi(x,y)=integral x^2,dx=x^33+h(y)
Depois, impomos partialphi/partial y=y^2:
h'(y)=y^2Rightarrow h(y)=y^33+C
Podemos tomar C=0, então
phi(x,y)=x^33+y^33

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, o trabalho é
W=phil(0,0r)-phil(0,1r)=l(0+0r)-l(0+tfrac1^33r)=-13
Isso conclui o cálculo do trabalho realizado.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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