Seja
a função dada por
. Encontre retas que tenham:
exatamente 2 interseções com o gráfico de
;
exatamente 2 interseções com o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede retas que cortem o gráfico de f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) exatamente em dois pontos. Isso significa estudar a equação f(x)=mx+b e contar quantas soluções reais ela tem. Vamos focar primeiro em retas horizontais y=b, ou seja em f(x)=b.
Passo 2
Para entender quantas soluções reais f(x)=b pode ter, precisamos achar os extremos da função de quarto grau. Começamos calculando a derivada:
Passo 3
Resolvendo f’(x)=0 fatoramos 2x3−9x2+11x−3. Um dos zeros é x=1.5, e dividindo encontramos
Passo 4
As raízes de 2x^2−6x+2=0 são x=(3±√5)/2≈0.382 e x≈2.618. Assim há três pontos críticos: x≈0.382, x=1.5 e x≈2.618.
Passo 5
Para calcular os valores de f nesses pontos, fazemos a mudança t=x−1.5. Então
Passo 6
Nos pontos críticos t^2=1.25 (x≈0.382 e ≈2.618) e t=0 (x=1.5) obtemos
Passo 7
Isso mostra que f tem mínimo local f=−1 (duas vezes) e máximo local f=9/16. O gráfico vai a +∞ nas extremidades.
Passo 8
Para a equação f(x)=b temos: se b>9/16, a reta y=b corta só duas vezes; se −1<b<9/16, corta quatro vezes; se b=9/16, três interseções (um ponto duplo); se b=−1, duas interseções distintas (dois pontos de tangência); se b<−1, nenhuma.
Passo 9
Logo as retas horizontais que deram exatamente duas interseções são aquelas de equação
Resposta
y=b com b>\tfrac{9}{16} ou b=-1