Seja f: R R a função dada por f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3). Encontre retas que tenham:
exatamente 2 interseções com o gráfico de f;

Passo 1

O enunciado pede retas que cortem o gráfico de f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) exatamente em dois pontos. Isso significa estudar a equação f(x)=mx+b e contar quantas soluções reais ela tem. Vamos focar primeiro em retas horizontais y=b, ou seja em f(x)=b.

Passo 2

Para entender quantas soluções reais f(x)=b pode ter, precisamos achar os extremos da função de quarto grau. Começamos calculando a derivada:
f'(x)=4x^3-18x^2+22x-6 = 2l(2x^3-9x^2+11x-3r)

Passo 3

Resolvendo f’(x)=0 fatoramos 2x3−9x2+11x−3. Um dos zeros é x=1.5, e dividindo encontramos
2x^3-9x^2+11x-3=(x-1.5)(2x^2-6x+2)

Passo 4

As raízes de 2x^2−6x+2=0 são x=(3±√5)/2≈0.382 e x≈2.618. Assim há três pontos críticos: x≈0.382, x=1.5 e x≈2.618.

Passo 5

Para calcular os valores de f nesses pontos, fazemos a mudança t=x−1.5. Então
f(x)=(t^2-2.25)(t^2-0.25)=t^4-2.5t^2+0.5625

Passo 6

Nos pontos críticos t^2=1.25 (x≈0.382 e ≈2.618) e t=0 (x=1.5) obtemos
f(0)=0.5625=916, fl(tfrac3±raiz52r)=-1

Passo 7

Isso mostra que f tem mínimo local f=−1 (duas vezes) e máximo local f=9/16. O gráfico vai a +∞ nas extremidades.

Passo 8

Para a equação f(x)=b temos: se b>9/16, a reta y=b corta só duas vezes; se −1<b<9/16, corta quatro vezes; se b=9/16, três interseções (um ponto duplo); se b=−1, duas interseções distintas (dois pontos de tangência); se b<−1, nenhuma.

Passo 9

Logo as retas horizontais que deram exatamente duas interseções são aquelas de equação

Resposta

y=b com b>\tfrac{9}{16} ou b=-1

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