Seja f: R R a função dada por f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3). Encontre retas que tenham:
exatamente 1 interseção com o gráfico de f;

Passo 1

O enunciado pede para achar retas que cortem o gráfico de f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3) exatamente uma vez. Isso significa que a equação f(x)=mx+b deve ter única solução real, contando multiplicidades (as outras raízes, se existirem, vêm em pares complexos). Vamos usar tangentes ao polinômio, pois aí a interseção tem ao menos multiplicidade 2.

Passo 2

Para que a reta y=mx+b seja tangente ao gráfico em x0, o coeficiente angular m deve ser f'(x0) e o coeficiente linear b deve satisfazer b=f(x0)-f'(x0)x0. Assim a reta tangente em x0 é
m=f'(x0), b=f(x0)-f'(x0)x0

Passo 3

Subtraindo essa reta de f e fazendo expansão em torno de x0 via série de Taylor, obtém-se
f(x)-l(f(x0)+f'(x0)(x-x0)r)=(x-x0)^2l(tfrac12f''(x0)+tfrac16f'''(x0)(x-x0)+tfrac124f''''(x0)(x-x0)^2r)

Passo 4

A interseção (x-x0)^2=0 é a tangência; para não haver outras interseções reais, o quadrático
Q(y)=tfrac12f''(x0)+tfrac16f'''(x0)y+tfrac124f''''(x0)y^2(y=x-x0)
deve ter discriminante negativo. Calculando f''(x0)=12x0^2-36x0+22, f'''(x0)=24x0-36, f''''(x0)=24, chega-se à condição
-8l(x0^2-3x0+1r)<0Long<=ftrightarrow x0^2-3x0+1>0

Passo 5

Resolve-se
x0^2-3x0+1=0Longrightarrow x0=3pmraiz52,e a desigualdade é satisfeita quando
x0<3-raiz52ou x0>3+raiz52

Resposta

As retas com exatamente uma interseção são todas as tangentes a f em pontos x0 ou x0>tfrac3+raiz52, ou seja, o conjunto de retas
y=f'(x0)x+l(f(x0)-f'(x0)x0r),
com
f'(x0)=4x0^3-18x0^2+22x0-6,
para todo x0in(-infty,tfrac3-raiz52)cup(tfrac3+raiz52,infty).

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