Seja
a função dada por
. Encontre retas que tenham:
exatamente 1 interseção com o gráfico de
;
exatamente 1 interseção com o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para achar retas que cortem o gráfico de
exatamente uma vez. Isso significa que a equação
deve ter única solução real, contando multiplicidades (as outras raízes, se existirem, vêm em pares complexos). Vamos usar tangentes ao polinômio, pois aí a interseção tem ao menos multiplicidade 2.
Passo 2
Para que a reta
seja tangente ao gráfico em
, o coeficiente angular
deve ser
e o coeficiente linear
deve satisfazer
. Assim a reta tangente em
é
Passo 3
Subtraindo essa reta de
e fazendo expansão em torno de
via série de Taylor, obtém-se
Passo 4
A interseção
é a tangência; para não haver outras interseções reais, o quadrático
deve ter discriminante negativo. Calculando
Passo 5
Resolve-se
Resposta
As retas com exatamente uma interseção são todas as tangentes a
em pontos
ou
, ou seja, o conjunto de retas
com
para todo
.