Calcule a seguinte integral, por integração por Partes:
integral1^4 e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral1^4 e^raizx , dx usando integração por partes. A integração por partes é uma técnica útil quando você tem um produto de duas funções que é difícil de integrar diretamente. Para isso, vamos precisar identificar as partes u e dv da nossa integral para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u e dv na nossa integral. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = e^raizx (porque sua derivada será mais simples)
  • dv = dx (porque é fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v.
Para encontrar du, derivamos u em relação a x:
u = e^raizx du = ddx ( e^raizx ) dx = e^raizx cdot 12raizx , dx = e^raizx2raizx , dx
Para encontrar v, integramos dv:
dv = dx v = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du integral e^raizx , dx = x cdot e^raizx - integral x cdot e^raizx2raizx , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x cdot e^raizx2raizx , dx = 12 integral raizx cdot e^raizx , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: 12 integral raizx cdot e^raizx , dx. Vamos fazer uma substituição para simplificar.
Vamos deixar:
t = raizx x = t^2 dx = 2t , dt
Substituindo na integral:
12 integral t cdot e^t cdot 2t , dt = integral t^2 e^t , dt

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral t^2 e^t , dt. Vamos usar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
  • u = t^2
  • dv = e^t , dt
Calculando du e v:
du = 2t , dt v = integral e^t , dt = e^t

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - integral e^t cdot 2t , dt = t^2 e^t - 2 integral t e^t , dt
Agora, precisamos resolver integral t e^t , dt novamente por partes.

Passo 8

Para integral t e^t , dt, escolhemos:
  • u = t
  • dv = e^t , dt
Calculando du e v:
du = dt v = integral e^t , dt = e^t
Aplicando integração por partes:
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t + C

Passo 9

Voltando à etapa anterior:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - 2 (t e^t - e^t) + C = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t + C = e^t (t^2 - 2t + 2) + C

Passo 10

Agora, substituímos t = raizx de volta:
integral raizx e^raizx , dx = e^raizx ( (raizx)^2 - 2raizx + 2 ) + C = e^raizx (x - 2raizx + 2) + C
Lembrando que tínhamos um fator 12 anteriormente:
12 integral raizx e^raizx , dx = 12 e^raizx (x - 2raizx + 2) + C

Passo 11

Voltando à integral original:
integral e^raizx , dx = x e^raizx - 12 e^raizx (x - 2raizx + 2) + C = e^raizx ( x - x2 + raizx - 1 ) + C = e^raizx ( x2 + raizx - 1 ) + C

Passo 12

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
integral1^4 e^raizx , dx = [ e^raizx ( x2 + raizx - 1 ) ]1^4
Calculando em x = 4:
e^2 ( 42 + 2 - 1 ) = e^2 (2 + 2 - 1) = e^2 cdot 3
Calculando em x = 1:
e^1 ( 12 + 1 - 1 ) = e ( 12 ) = e2
Então, a integral fica:
e^2 cdot 3 - e2

Resposta

A integral integral1^4 e^raizx , dx é igual a 3e^2 - e2.

Exercícios relacionados