Calcule a seguinte integral, por integração por Partes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando integração por partes. A integração por partes é uma técnica útil quando você tem um produto de duas funções que é difícil de integrar diretamente. Para isso, vamos precisar identificar as partes
e
da nossa integral para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa integral. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
-
(porque sua derivada será mais simples) -
(porque é fácil de integrar)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos fazer uma substituição para simplificar.
Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver
novamente por partes.
Passo 8
Para
, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando integração por partes:
Passo 9
Voltando à etapa anterior:
Passo 10
Agora, substituímos
de volta:
Lembrando que tínhamos um fator
anteriormente:
Passo 11
Voltando à integral original:
Passo 12
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral
é igual a
.