Seja f: R R a função definida por f(x)=0 se x<1 e f(x)=1 se x >= 1. Esta função tem derivada em x=1 ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)= 0, & x<1, 1, & x>=1
Queremos saber se f é derivável em x=1. Para isso, vamos usar que derivabilidade em um ponto exige, a princípio, continuidade nesse ponto e existência do limite do quociente incremental.

Passo 2

Uma função derivável em a é necessariamente contínua em a. Aqui
limxto1^-f(x)=0 e f(1)=1,
logo limxto1^-f(x)neq f(1), ou seja, f é descontínua em x=1. Basta esse fato para concluir que f não pode ser derivável em x=1.

Passo 3

Podemos também ver isso pelo quociente incremental. Para h>0:
f(1+h)-f(1)h =1-1h=0,
enquanto para h<0:
f(1+h)-f(1)h =0-1h=-1hto +infty(hto0^-)
Como os limites laterais não coincidem (nem são finitos), o limite total não existe.

Resposta

A função não tem derivada em x=1, pois é descontínua nesse ponto e os limites laterais do quociente incremental são diferentes.

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