Exercício 5: Otimização de lucro em transporte
Uma empresa de fretamento cobra R ôéç\mathrm{R} $10,00$, ela perde 2 passageiros. Suponha que a viagem só ocorra se tiver pelo menos 20 passageiros. Qual o valor a ser cobrado por pessoa para maximizar o lucro da empresa?
RESPOSTA: preço/pessoa R =30 á= 31.500,00.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de otimização de “lucro” (na verdade receita) em função do preço cobrado por pessoa. Sabemos que, a partir de um preço base de R$1000 por pessoa, a lotação é de 40 passageiros, e que cada aumento de R$ 10 na tarifa faz cair o número de passageiros em 2. Vamos modelar essa relação, determinar a função quadrática da receita e achar seu vértice para maximizar o lucro.

Passo 2

Definimos x como o número de acréscimos de R$ 10 na tarifa.
Então a tarifa por pessoa é
p(x) = 1000 + 10x
e o número de passageiros é
n(x) = 40 - 2x

Passo 3

A receita (lucro) L em função de x é tarifa vezes passageiros:
L(x) = p(x),n(x) = (1000 + 10x),(40 - 2x)
Desenvolvendo, obtemos uma quadrática do tipo L(x) = -20x^2 -1600x +40000.

Passo 4

Para maximizar uma parábola concava ( a<0) usamos o vértice. A abscissa do vértice é
x^* = -b2a
onde aqui a = -20 e b = -1600. Portanto
x^* = --16002cdot(-20) = 5

Passo 5

Como x^*=5 está no intervalo factível ( 0<= x<=10, pois abaixo de 20 passageiros seria inviável), calculamos:
p(5) = 1000 + 10cdot5 = 1050,
n(5) = 40 - 2cdot5 = 30

Passo 6

A receita máxima é
L(5) = 1050 times 30 = 31,500

Resposta

Preço por pessoa = R$ 1050,00
Passageiros = 30
Lucro máximo = R$ 31 500,00

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