Exercício 5: Otimização de lucro em transporte
Uma empresa de fretamento cobra R
\mathrm{R} $10,00$, ela perde 2 passageiros. Suponha que a viagem só ocorra se tiver pelo menos 20 passageiros. Qual o valor a ser cobrado por pessoa para maximizar o lucro da empresa?
RESPOSTA: preço/pessoa
R
=30
=
31.500,00.
Uma empresa de fretamento cobra R
RESPOSTA: preço/pessoa
Passo 1
O enunciado trata de um problema de otimização de “lucro” (na verdade receita) em função do preço cobrado por pessoa. Sabemos que, a partir de um preço base de R$1000 por pessoa, a lotação é de 40 passageiros, e que cada aumento de R$ 10 na tarifa faz cair o número de passageiros em 2. Vamos modelar essa relação, determinar a função quadrática da receita e achar seu vértice para maximizar o lucro.
Passo 2
Definimos
como o número de acréscimos de R$ 10 na tarifa.
Então a tarifa por pessoa é
Então a tarifa por pessoa é
e o número de passageiros é
Passo 3
A receita (lucro)
em função de
é tarifa vezes passageiros:
Desenvolvendo, obtemos uma quadrática do tipo
.
Passo 4
Para maximizar uma parábola concava (
) usamos o vértice. A abscissa do vértice é
onde aqui
e
. Portanto
Passo 5
Como
está no intervalo factível (
, pois abaixo de 20 passageiros seria inviável), calculamos:
Passo 6
A receita máxima é
Resposta
Preço por pessoa = R$ 1050,00
Passageiros = 30
Lucro máximo = R$ 31 500,00
Passageiros = 30
Lucro máximo = R$ 31 500,00