Q. 4(2,7). Simplificando, determine a derivada de cada função a seguir:
(a) f(x)=2 raizx cdot arctg(raizx)-ln (sec (x));

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2raizx,arctanl(raizxr);-;lnl(sec(x)r)
O conteúdo necessário inclui a regra do produto, a regra da cadeia, a derivada de raizx, de arctan(u), de ln(u) e de sec(x).

Passo 2

Vamos derivar a parte
g(x)=2raizx,arctanl(raizxr)
como um produto u(x)v(x), onde
u(x)=2raizx, v(x)=arctanl(raizxr)
Calculamos primeiro
u'(x)=2cdot12raizx=1raizx,
e, pela regra da cadeia em arctan(U) com U=raizx,
v'(x)=11+U^2,U' =11+(raizx)^2cdot12raizx =12raizx,(1+x)
Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =1raizx;arctanl(raizxr) +2raizx;12raizx,(1+x),
que simplifica para
g'(x)=arctanl(raizxr)raizx +11+x

Passo 3

Agora derivamos
h(x)=-lnl(sec(x)r)
Como ddxlnl(sec xr)=sec xtan xsec x=tan x, temos
h'(x)=-tan(x)

Passo 4

Somando as duas partes, a derivada de f é
f'(x)=g'(x)+h'(x) =arctanl(raizxr)raizx +11+x -tan(x)

Resposta

f'(x) =arctanl(raizxr)raizx +11+x -tan(x)

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