Seja f: R R uma função derivável em todo R e temos a seguinte tabela
x f(x) f^prime(x)
0 4 2
1 3 5
2 2 1
3 2 3
Podemos garantir que a equação f(x)=2 x tem solução? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável em R com uma tabela de valores de f(x) e f'(x) em alguns pontos, e pede para garantirmos se existe solução da equação f(x)=2x. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, já que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 2

Para usar o Teorema do Valor Intermediário, definimos a função auxiliar g(x)=f(x)-2x. Note que como f é diferenciável em R, ela é contínua, e 2x também é contínua, logo g(x) é contínua em R.

Passo 3

Agora vamos avaliar g(x) em alguns pontos da tabela. Em x=0 temos:
g(0)=f(0)-2cdot 0=4-0=4>0
Em x=2 temos:
g(2)=f(2)-2cdot 2=2-4=-2<0

Passo 4

Visto que g(0)>0 e g(2)<0, e g(x) é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe um c em (0,2) tal que g(c)=0.

Passo 5

Logo, esse c satisfaz f(c)-2c=0, ou seja, f(c)=2c. Assim existe pelo menos uma solução da equação f(x)=2x.

Resposta

Sim. Definindo g(x)=f(x)-2x, observa-se que g(0)=4>0 e g(2)=-2<0, e como g é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante uma raiz em (0,2).

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