Seja
uma função derivável em todo
e temos a seguinte tabela
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|
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---|---|---|
0 | 4 | 2 |
1 | 3 | 5 |
2 | 2 | 1 |
3 | 2 | 3 |
Podemos garantir que a equação
tem solução? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável em
com uma tabela de valores de
e
em alguns pontos, e pede para garantirmos se existe solução da equação
. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, já que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 2
Para usar o Teorema do Valor Intermediário, definimos a função auxiliar
. Note que como
é diferenciável em
, ela é contínua, e
também é contínua, logo
é contínua em
.
Passo 3
Agora vamos avaliar
em alguns pontos da tabela. Em
temos:
Em
Passo 4
Visto que
e
, e
é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe um
em
tal que
.
Passo 5
Logo, esse
satisfaz
, ou seja,
. Assim existe pelo menos uma solução da equação
.
Resposta
Sim. Definindo
, observa-se que
e
, e como
é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante uma raiz em
.