Seja
uma função diferenciavel com a seguinte propriedade:
para todo
e existe um numero real
tal que
.
Seja a superficie
em
dada por
Seja o ponto
. Considere os seguintes casos:
Quando podemos expressar a variavel
em função das variaveis
numa vizinhança do ponto
:
-
, mas nāo
.
-
, mas não
.
- em todos os casos.
-
e
, mas não
e
.
-
mas não
.
- em nenhum dos casos.
Seja a superficie
Quando podemos expressar a variavel
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável f:ℝ→ℝ com f′(x)>1 para todo x e existe α tal que f′(α)=3. A superfície S⊂ℝ³ é definida por sen(x+y z)=f(x+y+z) e queremos saber, em cada ponto (α,β,γ) dado, se podemos usar o Teorema da Função Implícita para escrever z=z(x,y) em volta desse ponto. Para isso vamos precisar calcular ∂G/∂z (onde G(x,y,z)=sen(x+yz)−f(x+y+z)) e verificar que ela é diferente de zero no ponto.
Passo 2
Definimos G(x,y,z)=sen(x+yz)−f(x+y+z). Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver para z se ∂G/∂z≠0. Calculando:
Passo 3
Agora avaliamos esse derivado em cada caso:
Caso (a): α=1, β=0, γ=2. Então y=β=0 e x+y+z=1+0+2=3. Logo
Caso (a): α=1, β=0, γ=2. Então y=β=0 e x+y+z=1+0+2=3. Logo
Como f’(3)>1, temos ∂G/∂z≠0.
Passo 4
Caso (b): α∈(0,π/2), β<0, γ=0. Aqui x+y+z=α+β+0 e cos(x+yz)=cos(α). Como cos(α)>0 e β<0, temos β cos(α)<0 e −f’(α+β)<−1, logo ∂G/∂z<0≠0.
Passo 5
Caso ©: β=−1, α=γ. Então x+y+z=α−1+α=2α−1 e cos(x+yz)=cos(α+βγ)=cos(α−α)=cos(0)=1. Assim
Passo 6
Caso (d): α=2π−9, β=3, γ=−3. Então x+y+z=α+3−3=α e x+yz=α+3(−3)=α−9=2π−18. Como f’(α)=3 e cos(2π−18)≠1 em geral, temos
Passo 7
Em todos os casos ∂G/∂z≠0, então podemos aplicar o Teorema da Função Implícita e expressar z como função de (x,y).
Resposta
em todos os casos