Seja f: R R uma função diferenciavel com a seguinte propriedade: f^prime(x)>1 para todo x in R e existe um numero real alpha tal que f^prime(alpha)=3.
Seja a superficie S em R^3 dada por
sen(x+y z)=f(x+y+z)
Seja o ponto (alpha, beta, gamma) in S. Considere os seguintes casos:
[a) mid alpha=1, beta=0, gamma=2
[b)] alpha in(0, pi2), beta<0, gamma=0
[c)] beta=-1, alpha=gamma
[d)] alpha=2 pi-9, beta=-gamma=3
Quando podemos expressar a variavel z em função das variaveis (x, y) numa vizinhança do ponto (alpha, beta, gamma) in S:
  1. [a],[b],[c], mas nāo [d].
  2. [a],[c],[d], mas não [b].
  3. em todos os casos.
  4. [a] e [b], mas não [c] e [d].
  5. [c] e[d] mas não [a] e[b].
  6. em nenhum dos casos.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:ℝ→ℝ com f′(x)>1 para todo x e existe α tal que f′(α)=3. A superfície S⊂ℝ³ é definida por sen(x+y z)=f(x+y+z) e queremos saber, em cada ponto (α,β,γ) dado, se podemos usar o Teorema da Função Implícita para escrever z=z(x,y) em volta desse ponto. Para isso vamos precisar calcular ∂G/∂z (onde G(x,y,z)=sen(x+yz)−f(x+y+z)) e verificar que ela é diferente de zero no ponto.

Passo 2

Definimos G(x,y,z)=sen(x+yz)−f(x+y+z). Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver para z se ∂G/∂z≠0. Calculando:
∂G∂z=ycos(x+yz)−f'(x+y+z)

Passo 3

Agora avaliamos esse derivado em cada caso:
Caso (a): α=1, β=0, γ=2. Então y=β=0 e x+y+z=1+0+2=3. Logo
∂G∂z=0·cos(1+0·2)−f'(3)=-f'(3)
Como f’(3)>1, temos ∂G/∂z≠0.

Passo 4

Caso (b): α∈(0,π/2), β<0, γ=0. Aqui x+y+z=α+β+0 e cos(x+yz)=cos(α). Como cos(α)>0 e β<0, temos β cos(α)<0 e −f’(α+β)<−1, logo ∂G/∂z<0≠0.

Passo 5

Caso ©: β=−1, α=γ. Então x+y+z=α−1+α=2α−1 e cos(x+yz)=cos(α+βγ)=cos(α−α)=cos(0)=1. Assim
∂G∂z=-1·1−f'(2α−1)=-1−f'(2α−1)<-2,não zerando.

Passo 6

Caso (d): α=2π−9, β=3, γ=−3. Então x+y+z=α+3−3=α e x+yz=α+3(−3)=α−9=2π−18. Como f’(α)=3 e cos(2π−18)≠1 em geral, temos
∂G∂z=3cos(2π−18)−3neq0

Passo 7

Em todos os casos ∂G/∂z≠0, então podemos aplicar o Teorema da Função Implícita e expressar z como função de (x,y).

Resposta

em todos os casos

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