Use a aproximação diferencial para calcular o incremento da função
quando (
) varia de
para
. Calcule o erro que se comete ao fazer tal aproximação.
Passo 1
O enunciado pede para usar a aproximação diferencial (linear) de f(x,y)=x³y^(–4) ao passar do ponto (2,1) para (2,03,0,9) e, em seguida, calcular o erro entre o incremento real Δf e a aproximação df.
Passo 2
Calculamos primeiro as variações e as derivadas parciais. Temos Δx=2,03–2=0,03 e Δy=0,9–1=–0,1. As derivadas parciais são
Avaliando em (x,y)=(2,1) resulta em
Passo 3
Com isso, a aproximação linear (diferencial) é
Passo 4
Agora calculamos o incremento exato Δf=f(2,03,0,9)−f(2,1). Primeiro
Logo
Passo 5
O erro da aproximação é a diferença entre o incremento real e o diferencial:
Resposta
Incremento aproximado df≈3.56, e o erro cometido ≈1.19.