Use a aproximação diferencial para calcular o incremento da função f(x, y)=x^3 y^-4 quando ( x, y ) varia de (2,1) para (2,03,0,9). Calcule o erro que se comete ao fazer tal aproximação.

Passo 1

O enunciado pede para usar a aproximação diferencial (linear) de f(x,y)=x³y^(–4) ao passar do ponto (2,1) para (2,03,0,9) e, em seguida, calcular o erro entre o incremento real Δf e a aproximação df.

Passo 2

Calculamos primeiro as variações e as derivadas parciais. Temos Δx=2,03–2=0,03 e Δy=0,9–1=–0,1. As derivadas parciais são
partial fpartial x=3x^2y^-4, partial fpartial y=-4x^3y^-5
Avaliando em (x,y)=(2,1) resulta em
fx(2,1)=3cdot2^2cdot1^-4=12, fy(2,1)=-4cdot2^3cdot1^-5=-32

Passo 3

Com isso, a aproximação linear (diferencial) é
df=fx,Δx+fy,Δy=12cdot0.03+(-32)cdot(-0.1)=0.36+3.2=3.56

Passo 4

Agora calculamos o incremento exato Δf=f(2,03,0,9)−f(2,1). Primeiro
f(2,1)=2^31^4=8, f(2,03,0,9)=(2.03)^3(0.9)^4approx8.3654270.6561approx12.7502
Logo
Δf=12.7502-8=4.7502

Passo 5

O erro da aproximação é a diferença entre o incremento real e o diferencial:
erro=|Δf - df|=|4.7502 - 3.56|approx1.1902

Resposta

Incremento aproximado df≈3.56, e o erro cometido ≈1.19.

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