Use a transformada de Laplace para encontrar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para a gente usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é transformada de Laplace de derivadas e de funções do tipo
. Vamos precisar das fórmulas:
•
•
•
•
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação e chamando
, com
e
, temos:
Substituindo as fórmulas:
Passo 3
Reorganizando termos para isolar
:
- Agrupamos os
:
- Passamos os termos com condições iniciais para o lado direito:
Logo:
Passo 4
Agora vamos separar
em duas partes:
-
A parte
vai gerar a solução particular; -
A parte
contém as condições iniciais e dá a solução homogênea.
Passo 5
Invertendo a transformada para cada parte:
- Para a particular:
- Para a homogênea escrevemos
E usamos:
•
•
Logo a parte homogênea é
Passo 6
Juntando as duas partes, obtemos a solução geral:
y(t) = \underbrace{y_0e^t + (y_1 - y_0)te^t}{solução homogênea} + \underbrace{\frac{t4}{12}et}{solução particular}
Passo 7
Podemos renomear as constantes arbitrárias como
e
. Então a forma mais usual da solução geral é:
y(t) = C_1 e^t + C_2 te^t + \frac{t4}{12}et
Resposta
y(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t + \frac{t4}{12}et