Use a transformada de Laplace para encontrar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
y^prime prime-2 y^prime+y=t^2 e^t

Passo 1

O enunciado pede para a gente usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y = t^2e^t
O conteúdo aqui é transformada de Laplace de derivadas e de funções do tipo t^n e^at. Vamos precisar das fórmulas:
Ly'' = s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
Ly' = sY(s)-y(0)
Ly = Y(s)
Lt^2e^t = 2(s-1)^3

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação e chamando Y(s)=Ly(t), com y(0)=y0 e y'(0)=y1, temos:
Ly''-2Ly'+Ly = Lt^2e^t
Substituindo as fórmulas:
(s^2Y - sy0 - y1) - 2(sY - y0) + Y = 2(s-1)^3

Passo 3

Reorganizando termos para isolar Y(s):
  1. Agrupamos os Y(s):
(s^2 - 2s + 1)Y(s) = (s-1)^2Y(s)
  1. Passamos os termos com condições iniciais para o lado direito:
(s-1)^2Y(s) = 2(s-1)^3 + s y0 + y1 - 2y0
Logo:
Y(s) = 2(s-1)^5 + s y0 + y1 -2y0(s-1)^2

Passo 4

Agora vamos separar Y(s) em duas partes:
  1. A parte 2(s-1)^5 vai gerar a solução particular;
  2. A parte s y0 + y1 -2y0(s-1)^2 contém as condições iniciais e dá a solução homogênea.

Passo 5

Invertendo a transformada para cada parte:
  1. Para a particular:
L^-1l2(s-1)^5r = 2cdot t^44!e^t = t^412e^t
  1. Para a homogênea escrevemos
s y0 + y1 -2y0(s-1)^2 = y0s(s-1)^2 + (y1-2y0)1(s-1)^2
E usamos:
L^-1s/(s-1)^2 = e^t + te^t
L^-11/(s-1)^2 = te^t
Logo a parte homogênea é
y0(e^t + te^t) + (y1-2y0)(te^t) = y0e^t + (y1 - y0)te^t

Passo 6

Juntando as duas partes, obtemos a solução geral:
y(t) = \underbrace{y_0e^t + (y_1 - y_0)te^t}{solução homogênea} + \underbrace{\frac{t4}{12}et}{solução particular}

Passo 7

Podemos renomear as constantes arbitrárias como C1=y0 e C2=y1-y0. Então a forma mais usual da solução geral é:
y(t) = C_1 e^t + C_2 te^t + \frac{t4}{12}et

Resposta

y(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t + \frac{t4}{12}et

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