Seja
um intervalo e
contínua em
. Se a função
é derivável em
prove que
é derivável em
.
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos uma função contínua f: I→ℝ em x₀ e definimos g(x)=x·f(x). Sabe‐se que g é derivável em x₀ e queremos mostrar que f também é derivável em x₀. O conteúdo-chave será usar a regra do quociente de derivação.
Passo 2
Observamos que, se x₀=0, a conclusão pode falhar (por exemplo f(x)=|x| dá g(x)=x|x| derivável em 0, mas f não). Logo, para provar o resultado, assumimos x₀≠0. Nessa hipótese, numa vizinhança de x₀ podemos escrever
Passo 3
Definimos h(x)=x, que é derivável em x₀ com h(x₀)=x₀≠0. Como g é derivável em x₀ por hipótese, o quociente f=g/h é derivável em x₀. Aplicando a regra do quociente, temos
Resposta
Para x₀≠0, f é derivável em x₀ e