Seja I subset R um intervalo e f: I R contínua em xo in I. Se a função g(x)=x f(x) é derivável em xo prove que f é derivável em xo.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos uma função contínua f: I→ℝ em x₀ e definimos g(x)=x·f(x). Sabe‐se que g é derivável em x₀ e queremos mostrar que f também é derivável em x₀. O conteúdo-chave será usar a regra do quociente de derivação.

Passo 2

Observamos que, se x₀=0, a conclusão pode falhar (por exemplo f(x)=|x| dá g(x)=x|x| derivável em 0, mas f não). Logo, para provar o resultado, assumimos x₀≠0. Nessa hipótese, numa vizinhança de x₀ podemos escrever
f(x)=g(x)x

Passo 3

Definimos h(x)=x, que é derivável em x₀ com h(x₀)=x₀≠0. Como g é derivável em x₀ por hipótese, o quociente f=g/h é derivável em x₀. Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x₀)=g'(x₀),h(x₀)-g(x₀),h'(x₀)[h(x₀)]^2 Substituindo h(x₀)=x₀, h’(x₀)=1 e g(x₀)=x₀f(x₀), obtemos
f'(x₀)=g'(x₀)-f(x₀)x₀

Resposta

Para x₀≠0, f é derivável em x₀ e
f'(x₀)=g'(x₀)-f(x₀)x₀

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