Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla transformando para coordenadas esféricas. O enunciado nos dá uma integral complicada em coordenadas cartesianas:
Vamos precisar saber sobre coordendas esféricas e como mudar de coordenadas cartesianas para esféricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, usamos
,
,
. Já nas esféricas, usamos:
- $ \rho $: a distância do ponto à origem.
- $ \theta $: o ângulo no plano
a partir do eixo . - $ \phi $: o ângulo a partir do eixo
.
As relações entre elas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos converter os limites de integração. Observando a integral original, vemos que a região de integração é uma esfera de raio
, já que
.
Em coordenadas esféricas, os limites são:
- $ \rho $ de
a - $ \phi $ de
a - $ \theta $ de
a
Passo 4
Vamos reescrever a função integranda
em coordenadas esféricas usando as relações que vimos:
Então, a função integranda fica:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos analisar cada termo separadamente. Mas antes, notamos que algumas integrais envolvendo funções ímpares em
vão desaparecer devido à simetria.
-
Primeiro termo:A integral em
de de a é $ \pi $. -
Segundo termo:A integral em
de de a é zero, pois a função é ímpar em . -
Terceiro termo:A integral em
de uma constante é .
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
- Primeiro termo:
Então, a contribuição é:
- Segundo termo:
Esse termo é zero, então nada contribui.
- Terceiro termo:
Então, a contribuição é:
Passo 8
Vamos resolver as integrais internas em
:
- Primeiro termo:
Fazendo substituição
,
:
Então, esse termo também é zero.
- Terceiro termo:
Novamente, usando
,
:
Então, esse termo também é zero.
Passo 9
Como ambos os termos que sobraram resultaram em zero, toda a integral é zero.
Resposta
A integral vale 0.