Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2 z+y^3 z+z^3) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla transformando para coordenadas esféricas. O enunciado nos dá uma integral complicada em coordenadas cartesianas:
integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2 z+y^3 z+z^3) d z d x d y
Vamos precisar saber sobre coordendas esféricas e como mudar de coordenadas cartesianas para esféricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, usamos x, y, z. Já nas esféricas, usamos:
  • $ \rho $: a distância do ponto à origem.
  • $ \theta $: o ângulo no plano rho a partir do eixo theta .
  • $ \phi $: o ângulo a partir do eixo xy.
As relações entre elas são:
x
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
phi

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração. Observando a integral original, vemos que a região de integração é uma esfera de raio a, já que x^2 + y^2 + z^2 <= a^2.
Em coordenadas esféricas, os limites são:
  • $ \rho $ de rho a 0
  • $ \phi $ de a a phi
  • $ \theta $ de 0 a pi

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda x^2 z + y^3 z + z^3 em coordenadas esféricas usando as relações que vimos:
x^2 z = (rho sinphi costheta)^2 (rho cosphi) = rho^3 sin^2phi cos^2theta cosphi y^3 z = (rho sinphi sintheta)^3 (rho cosphi) = rho^4 sin^3phi sin^3theta cosphi z^3 = (rho cosphi)^3 = rho^3 cos^3phi
Então, a função integranda fica:
rho^3 sin^2phi cos^2theta cosphi + rho^4 sin^3phi sin^3theta cosphi + rho^3 cos^3phi

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integral0^pi integral0^a ( rho^3 sin^2phi cos^2theta cosphi + rho^4 sin^3phi sin^3theta cosphi + rho^3 cos^3phi ) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^a ( rho^5 sin^3phi cos^2theta cosphi + rho^6 sin^4phi sin^3theta cosphi + rho^5 sinphi cos^3phi ) drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos analisar cada termo separadamente. Mas antes, notamos que algumas integrais envolvendo funções ímpares em theta vão desaparecer devido à simetria.
  1. Primeiro termo: rho^5 sin^3phi cos^2theta cosphi
    A integral em theta de cos^2theta de 0 a 2pi é $ \pi $.
  2. Segundo termo: pi
    A integral em rho^6 sin^4phi sin^3theta cosphi de theta de sin^3theta a 0 é zero, pois a função é ímpar em 2pi.
  3. Terceiro termo: theta
    A integral em rho^5 sinphi cos^3phi de uma constante é theta.

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
  1. Primeiro termo:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Então, a contribuição é:
integral0^a rho^5 ( integral0^pi sin^3phi cosphi , dphi ) pi , drho
  1. Segundo termo:
Esse termo é zero, então nada contribui.
  1. Terceiro termo:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, a contribuição é:
integral0^a rho^5 ( integral0^pi sinphi cos^3phi , dphi ) 2pi , drho

Passo 8

Vamos resolver as integrais internas em phi:
  1. Primeiro termo:
integral0^pi sin^3phi cosphi , dphi
Fazendo substituição u = cosphi, du = -sinphi , dphi:
-integral1^-1 (1 - u^2) u , du = integral-1^1 (u - u^3) , du = [ u^22 - u^44 ]-1^1 = ( 12 - 14 ) - ( 12 - 14 ) = 0
Então, esse termo também é zero.
  1. Terceiro termo:
integral0^pi sinphi cos^3phi , dphi
Novamente, usando u = cosphi, du = -sinphi , dphi:
-integral1^-1 u^3 , du = integral-1^1 u^3 , du = [ u^44 ]-1^1 = ( 14 - 14 ) = 0
Então, esse termo também é zero.

Passo 9

Como ambos os termos que sobraram resultaram em zero, toda a integral é zero.

Resposta

A integral vale 0.

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