Seja
uma função tal que
para todo
.
é contínua em 0? Por quê?
Passo 1
Estamos estudando se a função f, com a propriedade $|f(x)| \le x^2$ para todo x em
, é contínua em 0. Para isso vamos usar definição de continuidade e um limite.
Passo 2
Avaliar f(0): aplicando a desigualdade em x=0, temos $|f(0)| \le 0^2 = 0$. Assim $f(0)=0$.
Passo 3
Analisar o limite $x \to 0$ de f(x): note que
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2
$$
Como $x^2 \to 0$ quando $x \to 0$, pelo Teorema do Confronto temos $f(x) \to 0 = f(0)$.
Passo 4
Demonstração
-$\delta$: dado
, escolha
. Se $|x| < \delta$ então
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2 < \delta^2 = \varepsilon
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2 < \delta^2 = \varepsilon
$$
Isso mostra $f(x)$ fica a menos de
de $f(0)$ sempre que $|x| < \delta$.
Resposta
Sim. A função é contínua em 0 porque $|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2$ e $x^2 \to 0$ quando $x \to 0$, garantindo $f(x) \to f(0)$.