Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <= x^2 para todo x in R.
f é contínua em 0? Por quê?

Passo 1

Estamos estudando se a função f, com a propriedade $|f(x)| \le x^2$ para todo x em |f(x)| <= x^2, é contínua em 0. Para isso vamos usar definição de continuidade e um limite.

Passo 2

Avaliar f(0): aplicando a desigualdade em x=0, temos $|f(0)| \le 0^2 = 0$. Assim $f(0)=0$.

Passo 3

Analisar o limite $x \to 0$ de f(x): note que
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2
$$
Como $x^2 \to 0$ quando $x \to 0$, pelo Teorema do Confronto temos $f(x) \to 0 = f(0)$.

Passo 4

Demonstração de-$\delta$: dado |x| < de, escolha |f(x)-f(0)| = |f(x)| <= x^2 < de. Se $|x| < \delta$ então
$$
|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2 < \delta^2 = \varepsilon
$$
Isso mostra $f(x)$ fica a menos de f(x) de $f(0)$ sempre que $|x| < \delta$.

Resposta

Sim. A função é contínua em 0 porque $|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le x^2$ e $x^2 \to 0$ quando $x \to 0$, garantindo $f(x) \to f(0)$.

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