Seja f: R R uma função tal que 2-x^2 <= f(x) <= 2 cos x para qualquer x. Determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que tá entre duas outras funções: e , para qualquer valor de . A missão é descobrir qual é o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar o conceito de limites e o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão) pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os limites das duas funções que “controlem” limx to 0 (2 - x^2) = 2 - 0 = 2 quando limx to 0 2 cos x = 2 cos 0 = 2 times 1 = 2 se aproxima de 0.
Para a função de baixo:
Para a função de cima:

Passo 3

Agora, como 2 - x^2 <= f(x) <= 2 cos x está sempre entre essas duas funções, ou seja:
e os limites das duas funções são iguais a 2 quando tende a 0, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
limx to 0 f(x) = 2

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