Seja F: R^5 longrightarrow R^3 a aplicação definida por
F(x, y, z, w, t)=(x+2 y+z-3 s+4 t, 2 x+5 y+4 z-5 s+5 t, x+4 y+5 z-s-2 t)
Ache uma base e a dimensão para o núcleo e imagem de F.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Fcolon R^5 to R^3, F(x,y,z,w,t) =l(x+2y+z-3w+4t,;2x+5y+4z-5w+5t,;x+4y+5z-w-2tr)
O que precisamos é encontrar uma base e a dimensão do núcleo ker(F) e da imagem Im(F). Para isso, vamos representar F pela matriz associada e fazer eliminação de Gauss.

Passo 2

A matriz de F na base canônica é
A = 1 & 2 & 1 & -3 & 4 [6pt] 2 & 5 & 4 & -5 & 5 [6pt] 1 & 4 & 5 & -1 & -2
Fazendo operações elementares:
1) R2 R2 - 2R1 e R3 R3 - R1, obtemos
1 & 2 & 1 & -3 & 4 [3pt] 0 & 1 & 2 & 1 & -3 [3pt] 0 & 2 & 4 & 2 & -6
2) R3 R3 - 2R2 e R1 R1 - 2R2, chega-se a
1 & 0 & -3 & -5 & 10 [3pt] 0 & 1 & 2 & 1 & -3 [3pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada vemos que o posto rank(A)=2.
Logo
diml(Im(F)r)=2
Como coluna-pivô temos as colunas 1 e 2 de A, uma base para Im(F) é
(1,2,1),;(2,5,4)

Passo 4

Para
Tomando , livres, obtemos
Então
Logo e uma base é

Resposta

Base de ker(F): (3,-2,1,0,0),,(5,-1,0,1,0),,(-10,3,0,0,1) e dimker(F)=3.
Base de Im(F): (1,2,1),,(2,5,4) e dimIm(F)=2.

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