Considere, em cada um dos seguintes itens, a transformação linear T. Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico de T, os autovalores e os subespaços associados aos autovalores.
T(x, y, z)=(x, y, x);

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z)=(x,y,x)
O que queremos é:
  1. A matriz canônica de T na base padrão de R^3.
  2. O polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I).
  3. Os autovalores (raízes de p(lambda)).
  4. Os subespaços próprios (autovetores) associados a cada autovalor.

Passo 2

Para obter a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3, aplicamos T em cada vetor da base:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,0)
Logo, as colunas de A são esses resultados, isto é,
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 3

Para calcular o polinômio característico, montamos A-lambda I e calculamos o determinante:
A-lambda I = 1-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda& 0 1 & 0 & -lambda Longrightarrow det(A-lambda I) =(1-lambda)det!1-lambda&00&-lambda =-(1-lambda)^2,lambda
Portanto
p(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda,(1-lambda)^2

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0. Da expressão acima, vem
lambda=0(mu<iplicidade 1), lambda=1(mu<iplicidade 2)
Para lambda=0, resolvemos A v=0, ou seja
(x,y,x)=(0,0,0);Longrightarrow;x=0,;y=0,;z;livre
Logo o subespaço próprio de lambda=0 é
E0=(0,0,z)mid zinR =span(0,0,1)
Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, isto é
(A-I)(x,y,z)=(0,0,0) ;Longrightarrow; (x-z,,0,,0)=(0,0,0) ;Longrightarrow; x=z,;y;livre
Portanto o subespaço próprio de lambda=1 é
E1=(x,y,x)mid x,yinR =span(1,0,1),(0,1,0)

Resposta

Matriz canônica:
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Polinômio característico:
p(lambda)=-lambda,(1-lambda)^2
Autovalores e subespaços próprios:
lambda=0, E0=span(0,0,1); lambda=1, E1=span(1,0,1),(0,1,0)

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