Seja T: P2 P3 a transformação linear definida por T(p(t))=t p(t). Quais dos seguintes vetores estão na imagem de T ?
(a) 0
(b) t+1
(c) t^2
(d) t^2-2

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T: P2to P3 por
Tl(p(t)r)=t,p(t)
e pede para identificar quais dos vetores
0, t+1, t^2, t^2-2
estão na imagem de T.

Passo 2

Como T(p(t))=t,p(t), todo q(t) na imagem satisfaz
q(t)=t,p(t)para algum pin P2
Em particular, avaliando em t=0 vem
q(0)=0cdot p(0)=0
Logo
Im(T)=qin P3mid q(0)=0,
ou seja, polinômios de grau <=3 cujo termo constante é zero (múltiplos de t).

Passo 3

Avaliamo-os cada candidato em t=0:
  • 0(0)=0, portanto 0inIm(T) (por exemplo T(0)=0).
  • (t+1)(0)=1neq0, logo t+1notinIm(T).
  • (t^2)(0)=0, logo t^2inIm(T) (basta tomar p(t)=t).
  • (t^2-2)(0)=-2neq0, portanto t^2-2notinIm(T).

Resposta

(a) 0
(c) t^2

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