Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0, com f^prime(x) <= 2 para todo x in R. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
f(5) <= 2

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função derivável em
R com f'(x) <= 2 para todo x, e conhecemos f(4)=0. A pergunta é se vale necessariamente que f(5) <= 2. Vamos usar um teorema que relaciona derivada limitada e variação de f.

Passo 2

Pela forma integral do Teorema do Valor Médio para derivadas limitadas, se f'(x) <= M em um intervalo [a,b], então
f(b)-f(a) <= M,(b-a)
Aqui temos M=2.

Passo 3

Aplicando com a=4 e b=5, obtemos
f(5)-f(4) <= 2,(5-4) =2
Como f(4)=0, segue
f(5) <= 2

Passo 4

Logo, a afirmação "f(5) <= 2" é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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