Seja
derivável em
, tal que
, com
para todo
. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função derivável em
com
para todo
, e conhecemos
. A pergunta é se vale necessariamente que
. Vamos usar um teorema que relaciona derivada limitada e variação de
.
Passo 2
Pela forma integral do Teorema do Valor Médio para derivadas limitadas, se
em um intervalo
, então
Aqui temos
.
Passo 3
Aplicando com
e
, obtemos
Como
, segue
Passo 4
Logo, a afirmação
é verdadeira.
Resposta
Verdadeira