Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0, com f^prime(x) <= 2 para todo x in R. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
Existe uma reta tangente ao gráfico da função f, que é paralela à reta y=-3 x2.

Passo 1

A questão dá uma função f:ℝ→ℝ derivável com valores f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0 e f′(x)≤2. Queremos saber se existe x₀ tal que a reta tangente em x₀ tenha coeficiente angular −3/2, ou seja, se f′(x₀)=−3/2. Para resolver, vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) e a propriedade de Darboux das derivadas.

Passo 2

Aplicando o Teorema do Valor Médio nos intervalos [1,2], [2,3] e [3,4], obtemos pontos onde f′ assume certas inclinações:
exists c1in(1,2): f'(c1)=f(2)-f(1)2-1=3-41=-1,
exists c2in(2,3): f'(c2)=f(3)-f(2)3-2=5-31=2,
exists c3in(3,4): f'(c3)=f(4)-f(3)4-3=0-51=-5

Passo 3

Observamos que f′(c_1)=−1 e f′(c_3)=−5. Pelo Teorema de Darboux, f′ tem propriedade de valor intermediário: entre −1 e −5 ela assume todo valor intermediário. Como −3/2 está entre −1 e −5, existe c∈(c_1,c_3)⊂(1,4) tal que f′©=−3/2.

Passo 4

Logo, existe x₀=c em (1,4) com f′(x₀)=−3/2, e a reta tangente em x₀ é paralela à reta y=−(3/2)x. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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