Seja
derivável em
, tal que
, com
para todo
. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
Existe uma reta tangente ao gráfico da função
, que é paralela à reta
.
Existe uma reta tangente ao gráfico da função
Passo 1
A questão dá uma função f:ℝ→ℝ derivável com valores f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0 e f′(x)≤2. Queremos saber se existe x₀ tal que a reta tangente em x₀ tenha coeficiente angular −3/2, ou seja, se f′(x₀)=−3/2. Para resolver, vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) e a propriedade de Darboux das derivadas.
Passo 2
Aplicando o Teorema do Valor Médio nos intervalos [1,2], [2,3] e [3,4], obtemos pontos onde f′ assume certas inclinações:
Passo 3
Observamos que f′(c_1)=−1 e f′(c_3)=−5. Pelo Teorema de Darboux, f′ tem propriedade de valor intermediário: entre −1 e −5 ela assume todo valor intermediário. Como −3/2 está entre −1 e −5, existe c∈(c_1,c_3)⊂(1,4) tal que f′©=−3/2.
Passo 4
Logo, existe x₀=c em (1,4) com f′(x₀)=−3/2, e a reta tangente em x₀ é paralela à reta y=−(3/2)x. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira