Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y)=|x y|x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que para a função não existe o limite na origem. Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Aqui, o numerador é o valor absoluto de , e o denominador é em si. O que acontece com essa função depende do sinal de .

Passo 3

Vamos simplificar a função para facilitar a análise. Sabemos que:
|x y|x y = 1 & se x y > 0, -1 & se x y < 0
Ou seja, a função será sempre 1 se o produto for positivo e -1 se for negativo.

Passo 4

Para investigar o limite na origem, vamos calcular o limite de f(x, x) = |x cdot x|x cdot x = |x^2|x^2 = x^2x^2 = 1 quando se aproxima de ao longo de diferentes curvas.
Vamos primeiro considerar a curva . Substituindo por na função:
Então, ao nos aproximarmos da origem pela curva , o limite de é 1.

Passo 5

Agora, vamos considerar outra curva: f(x, -x) = |x cdot (-x)|x cdot (-x) = | -x^2 |-x^2 = x^2-x^2 = -1 . Substituindo por na função:
Assim, ao nos aproximarmos da origem pela curva , o limite de é -1.

Passo 6

Observamos que ao nos aproximarmos da origem por diferentes curvas, obtemos limites distintos:
  • Pela curva , o limite é 1.
  • Pela curva , o limite é -1.
Como os limites não coincidem, concluímos que o limite de na origem não existe.

Resposta

O limite de na origem não existe, pois ao se aproximar pela curva o limite é 1, e pela curva o limite é -1, valores diferentes.

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