Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que para a função
não existe o limite na origem. Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Aqui, o numerador é o valor absoluto de
, e o denominador é
em si. O que acontece com essa função depende do sinal de
.
Passo 3
Vamos simplificar a função para facilitar a análise. Sabemos que:
Ou seja, a função
será sempre 1 se o produto
for positivo e -1 se for negativo.
Passo 4
Para investigar o limite na origem, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
ao longo de diferentes curvas.
Vamos primeiro considerar a curva
. Substituindo
por
na função:
Então, ao nos aproximarmos da origem pela curva
, o limite de
é 1.
Passo 5
Agora, vamos considerar outra curva:
. Substituindo
por
na função:
Assim, ao nos aproximarmos da origem pela curva
, o limite de
é -1.
Passo 6
Observamos que ao nos aproximarmos da origem por diferentes curvas, obtemos limites distintos:
- Pela curva
, o limite é 1. - Pela curva
, o limite é -1.
Como os limites não coincidem, concluímos que o limite de
na origem não existe.
Resposta
O limite de
na origem não existe, pois ao se aproximar pela curva
o limite é 1, e pela curva
o limite é -1, valores diferentes.