Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty sen(n)n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty sin(n)n^2. O conteúdo envolve testes de convergência de séries infinitas, em especial o teste de comparação e a noção de convergência absoluta. Para resolver, vamos usar essas ideias.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |sin(n)n^2| = sumn=1^infty |sin(n)|n^2
Como |sin(n)| <= 1 para todo n, temos:
|sin(n)|n^2 <= 1n^2
E sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma p-série com p=2>1, logo convergente.

Passo 3

Pelo teste da comparação, a série sumn=1^infty |sin(n)|n^2 converge. Isso implica que sumn=1^infty sin(n)n^2 converge absolutamente, e portanto também converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, é convergente.

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