Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série . O conteúdo envolve testes de convergência de séries infinitas, em especial o teste de comparação e a noção de convergência absoluta. Para resolver, vamos usar essas ideias.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Como |sin(n)| <= 1 para todo n, temos:
|sin(n)|n^2 <= 1n^2
E sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma p-série com p=2>1, logo convergente.
Passo 3
Pelo teste da comparação, a série sumn=1^infty |sin(n)|n^2 converge. Isso implica que sumn=1^infty sin(n)n^2 converge absolutamente, e portanto também converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, consequentemente, é convergente.