Calcule a e b tais que y=a raizx+braizx tenha (1,4) como ponto de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para determinar constantes a e b de modo que a curva
y = araizx + braizx
tenha em x=1 um ponto de inflexão que passe pelo ponto (1,4). Para isso vamos usar:
– a definição de derivadas de funções potências;
– a condição de ponto de inflexão ( ,y''(1)=0 e troca de concavidade);
– a condição de que (1,4) esteja na curva ( y(1)=4).

Passo 2

Calculemos as derivadas de y. Escrevendo y = a,x^1/2 + b,x^-1/2, vale:
y' = tfraca2,x^-1/2 ;-;tfracb2,x^-3/2,
y'' = -tfraca4,x^-3/2 ;+;tfrac3b4,x^-5/2

Passo 3

Para ponto de inflexão em x=1 precisamos de y''(1)=0. Substituindo x=1 em y'':
-tfraca4 + tfrac3b4 = 0 Longrightarrow -a + 3b = 0 Longrightarrow a = 3b

Passo 4

Como o ponto (1,4) pertence à curva, impomos y(1)=4:
acdot1 + tfracb1 = 4 Longrightarrow a + b = 4
Substituindo a=3b em a+b=4
3b + b = 4 Longrightarrow 4b = 4 Longrightarrow b = 1, a = 3

Resposta

a=3,;b=1.

Exercícios relacionados