Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
Passo 1
No primeiro passo, a gente resume o que o enunciado pede: é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e um forçamento via degrau deslocado u(t−π)·sin t. Vamos usar transformada de Laplace para achar y(t), sabendo que y(0)=1 e y′(0)=−1.
e um forçamento via degrau deslocado u(t−π)·sin t. Vamos usar transformada de Laplace para achar y(t), sabendo que y(0)=1 e y′(0)=−1.
Passo 2
Agora aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Lembrando que
Então da equação
y’'−y’−2y=12 u(t−π) sin t
ficamos com
y’'−y’−2y=12 u(t−π) sin t
ficamos com
Passo 3
Para transformar o lado direito, usamos o teorema do deslocamento: para t>π
Logo
Isso dá
Passo 4
Isolando Y(s) resulta
Passo 5
A primeira parcela, 1/(s+1), inverte direto para y_h(t)=e^{-t}. A segunda contém um fator e^{-\pi s},
então escrevemos
então escrevemos
Passo 6
Agora fazemos frações parciais em H(s):
Passo 7
Invertendo cada termo:
L{-1}{2/(s+1)}=2e{-t},
L{-1}{-4/5/(s-2)}=-\tfrac{4}{5}e{2t},
L^{-1}{-6/5 s/(s^2+1)}=-\tfrac{6}{5}\cos t,
L{-1}{18/5/(s2+1)}=\tfrac{18}{5}\sin t.
Então
L{-1}{2/(s+1)}=2e{-t},
L{-1}{-4/5/(s-2)}=-\tfrac{4}{5}e{2t},
L^{-1}{-6/5 s/(s^2+1)}=-\tfrac{6}{5}\cos t,
L{-1}{18/5/(s2+1)}=\tfrac{18}{5}\sin t.
Então
Passo 8
Pelo teorema do deslocamento no tempo, a parte com e^{-\pi s} inverte para h(t-\pi)u(t-\pi). Logo a solução completa é
Passo 9
Para ilustrar em um gráfico, note que:
- Para 0\le t<\pi: y(t)=e^{-t}.
- Para t\ge\pi: y(t)=e{-t}+\bigl[2e{-(t-\pi)}-\tfrac{4}{5}e^{2(t-\pi)}-\tfrac{6}{5}\cos(t-\pi)+\tfrac{18}{5}\sin(t-\pi)\bigr].
Esse perfil mostra decaimento exponencial até t=π e, a partir daí, o acréscimo do termo forçado.
Passo 10
Resposta
[
y(t)=e{-t}+\bigl(2e{-(t-\pi)}-\tfrac{4}{5}e^{2(t-\pi)}-\tfrac{6}{5}\cos(t-\pi)+\tfrac{18}{5}\sin(t-\pi)\bigr),u(t-\pi).
]
y(t)=e{-t}+\bigl(2e{-(t-\pi)}-\tfrac{4}{5}e^{2(t-\pi)}-\tfrac{6}{5}\cos(t-\pi)+\tfrac{18}{5}\sin(t-\pi)\bigr),u(t-\pi).
]