Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
y^prime prime-y^prime-2 y=12 u(t-pi) sen t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o que o enunciado pede: é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e um forçamento via degrau deslocado u(t−π)·sin t. Vamos usar transformada de Laplace para achar y(t), sabendo que y(0)=1 e y′(0)=−1.

Passo 2

Agora aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s)
Então da equação
y’'−y’−2y=12 u(t−π) sin t
ficamos com
s^2Y - scdot1 -(-1) - [sY - 1] - 2Y = 12,Lu(t-pi)sin t

Passo 3

Para transformar o lado direito, usamos o teorema do deslocamento: para t>π
sin t = sin[(t-pi)+pi] = -sin(t-pi)
Logo
Lu(t-pi)sin t = -e^-pi s,Lsin(t-pi) = -e^-pi s,1s^2+1
Isso dá
(s^2 - s -2)Y - s +2 = -12,e^-pi ss^2+1

Passo 4

Isolando Y(s) resulta
Y(s)=s-2(s-2)(s+1)-12,e^-pi s(s^2+1)(s-2)(s+1) =1s+1-12,e^-pi s(s^2+1)(s-2)(s+1)

Passo 5

A primeira parcela, 1/(s+1), inverte direto para y_h(t)=e^{-t}. A segunda contém um fator e^{-\pi s},
então escrevemos
Y(s)=1s+1+H(s)e^-pi s, H(s)=-12(s^2+1)(s-2)(s+1)

Passo 6

Agora fazemos frações parciais em H(s):
-12(s^2+1)(s-2)(s+1)=2s+1+-4/5s-2+-tfrac65s+tfrac185s^2+1

Passo 7

Invertendo cada termo:
L{-1}{2/(s+1)}=2e{-t},
L{-1}{-4/5/(s-2)}=-\tfrac{4}{5}e{2t},
L^{-1}{-6/5 s/(s^2+1)}=-\tfrac{6}{5}\cos t,
L{-1}{18/5/(s2+1)}=\tfrac{18}{5}\sin t.
Então
h(t)=2e^-t-tfrac45e^2t-tfrac65cos t+tfrac185sin t

Passo 8

Pelo teorema do deslocamento no tempo, a parte com e^{-\pi s} inverte para h(t-\pi)u(t-\pi). Logo a solução completa é

Passo 9

Para ilustrar em um gráfico, note que:
  • Para 0\le t<\pi: y(t)=e^{-t}.
  • Para t\ge\pi: y(t)=e{-t}+\bigl[2e{-(t-\pi)}-\tfrac{4}{5}e^{2(t-\pi)}-\tfrac{6}{5}\cos(t-\pi)+\tfrac{18}{5}\sin(t-\pi)\bigr].
Esse perfil mostra decaimento exponencial até t=π e, a partir daí, o acréscimo do termo forçado.

Passo 10

Resposta

[
y(t)=e{-t}+\bigl(2e{-(t-\pi)}-\tfrac{4}{5}e^{2(t-\pi)}-\tfrac{6}{5}\cos(t-\pi)+\tfrac{18}{5}\sin(t-\pi)\bigr),u(t-\pi).
]

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