Utilizando derivação usual, para as funções f: R^2 R a seguir indicadas obtenha
partial f(x, y)partial x
e
partial f(x, y)partial y
f(x, y)=ln (x^4+5 y^6+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como logaritmos aplicados a polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um logaritmo natural de . Pela regra da cadeia, a derivada do logaritmo é vezes a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular partial upartial x = 4x^3 + 0 + 0 = 4x^3 . Como , a derivada em relação a é:
(Onde os termos com e a constante desaparecem porque estamos derivando em relação a .)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial x = 1u cdot partial upartial x = 4x^3x^4 + 5 y^6 + 1 :

Passo 5

Vamos agora encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = 1u cdot partial upartial y em relação a , ou seja, . Usando novamente a regra da cadeia, temos que:

Passo 6

Calculamos partial upartial y = 0 + 30 y^5 + 0 = 30 y^5 . Como , a derivada em relação a é:
(Novamente, os termos com e a constante somem porque estamos derivando em relação a .)

Passo 7

Aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial y = 30 y^5x^4 + 5 y^6 + 1 :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 4x^3x^4 + 5 y^6 + 1 são:
partial fpartial y = 30 y^5x^4 + 5 y^6 + 1
e

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