Utilizando derivação usual, para as funções
a seguir indicadas obtenha
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como logaritmos aplicados a polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é um logaritmo natural de
. Pela regra da cadeia, a derivada do logaritmo é
vezes a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, a derivada em relação a
é:
(Onde os termos com
e a constante desaparecem porque estamos derivando em relação a
.)
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Passo 5
Vamos agora encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usando novamente a regra da cadeia, temos que:
Passo 6
Calculamos
. Como
, a derivada em relação a
é:
(Novamente, os termos com
e a constante somem porque estamos derivando em relação a
.)
Passo 7
Aplicamos a regra da cadeia para
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e