Seja
, onde
, sendo
uma função diferenciável dada. Verifique que
Como fica a expressão de
? Justifique!
Passo 1
O enunciado define a transformação de coordenadas cartesianas para polares com as relações
e
, e pede para expressar
em termos das derivadas parciais de
. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia em funções de duas variáveis com mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Pela regra da cadeia para funções compostas, calculamos as derivadas de
em relação a
e
:
Passo 3
Para facilitar a resolução, dividimos a segunda equação por
e reorganizamos o sistema linear em
e
:
Passo 4
Para isolar
, aplicamos o método de combinação: multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, depois subtraímos. Usamos ainda a identidade trigonométrica
.
Ao realizar essa combinação, obtemos diretamente:
Ao realizar essa combinação, obtemos diretamente: