Seja F(r, theta)=f(x, y), onde x=r cos theta, y=r sin theta, sendo f(x, y) uma função diferenciável dada. Verifique que
partial fpartial y(x, y)=cos thetar partial Fpartial theta(r, theta)+sin theta partial Fpartial r(r, theta)
Como fica a expressão de partial fpartial x(x, y)? Justifique!

Passo 1

O enunciado define a transformação de coordenadas cartesianas para polares com as relações x = rcostheta e y = rsintheta, e pede para expressar tfracpartial fpartial x(x,y) em termos das derivadas parciais de F(r,theta)=f(x,y). O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia em funções de duas variáveis com mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Pela regra da cadeia para funções compostas, calculamos as derivadas de F em relação a r e theta:
partial Fpartial r = partial fpartial x cdot costheta + partial fpartial y cdot sintheta
partial Fpartial theta = partial fpartial x cdot (-rsintheta) + partial fpartial y cdot (rcostheta)

Passo 3

Para facilitar a resolução, dividimos a segunda equação por r e reorganizamos o sistema linear em tfracpartial fpartial x e tfracpartial fpartial y:
partial Fpartial r = partial fpartial x costheta + partial fpartial y sintheta, 1rpartial Fpartial theta = -partial fpartial x sintheta + partial fpartial y costheta

Passo 4

Para isolar tfracpartial fpartial x, aplicamos o método de combinação: multiplicamos a primeira equação por costheta e a segunda por sintheta, depois subtraímos. Usamos ainda a identidade trigonométrica cos^2theta + sin^2theta = 1.
Ao realizar essa combinação, obtemos diretamente:
partial fpartial x = costheta partial Fpartial r - sinthetar partial Fpartial theta

Resposta

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