Seja f: A \rightarrow B uma função e assuma que H \subseteq B.
a. Mostre que a identidade f\left(f^{-1}(H)\right)=H não é necessariamente obtida.
b. Mostre que se f for sobrejetora, então, f\left(f^{-1}(H)\right)=H.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a relação entre a imagem da pré-imagem de um conjunto H\subseteq B pela função f\colon A\to B. Vamos usar as definições
f^{-1}(H)=\{x\in A\mid f(x)\in H\},
f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}
e a noção de sobrejetividade (que garante que todo elemento de B tem pelo menos uma “antecessor” em A).

Passo 2

Mostramos primeiro a inclusão geral
f\bigl(f^{-1}(H)\bigr)\subseteq H.
De fato, se y\in f(f^{-1}(H)), então existe x\in f^{-1}(H) tal que f(x)=y. Mas x\in f^{-1}(H) implica f(x)\in H. Logo y\in H.

Passo 3

Para ver que em geral não temos igualdade, basta um contra-exemplo simples. Seja
A=\{1\},\quad B=\{a,b\},\quad f(1)=a,
e escolha H=\{b\}\subseteq B. Então
f^{-1}(H)=\{x\in A\mid f(x)\in\{b\}\}=\varnothing,
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f\bigl(f^{-1}(H)\bigr)=f(\varnothing)=\varnothing\neq\{b\}=H.
Isso mostra que f(f^{-1}(H))=H pode falhar.

Passo 4

Agora suponha que f seja sobrejetora. Tomemos y\in H. Pela sobrejetividade existe x\in A tal que f(x)=y. Como y\in H, deduzimos x\in f^{-1}(H) e, portanto, y=f(x)\in f(f^{-1}(H)). Assim
H\subseteq f\bigl(f^{-1}(H)\bigr).
Juntando com a inclusão do Passo 2 obtemos
f\bigl(f^{-1}(H)\bigr)=H.

Resposta

a. Em geral f\bigl(f^{-1}(H)\bigr)\subseteq H, mas a igualdade pode falhar (veja o contra-exemplo acima).
b. Se f for sobrejetora, então de fato
f\bigl(f^{-1}(H)\bigr)=H.

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