Seja
uma função e assuma que
.
a. Mostre que a identidade
não é necessariamente obtida.
b. Mostre que se
for sobrejetora, então,
.
a. Mostre que a identidade
b. Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para estudar a relação entre a imagem da pré-imagem de um conjunto
pela função
. Vamos usar as definições
e a noção de sobrejetividade (que garante que todo elemento de
tem pelo menos uma “antecessor” em
).
Passo 2
Mostramos primeiro a inclusão geral
De fato, se
, então existe
tal que
. Mas
implica
. Logo
.
Passo 3
Para ver que em geral não temos igualdade, basta um contra-exemplo simples. Seja
e escolha
. Então
logo
Isso mostra que
pode falhar.
Passo 4
Agora suponha que
seja sobrejetora. Tomemos
. Pela sobrejetividade existe
tal que
. Como
, deduzimos
e, portanto,
. Assim
Juntando com a inclusão do Passo 2 obtemos
Resposta
a. Em geral
, mas a igualdade pode falhar (veja o contra-exemplo acima).
b. Se for sobrejetora, então de fato
b. Se