Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, tal que f(x)=x^{2} para todo x \in \mathbb{R}. Considere os conjuntos
E=\{x \in \mathbb{R} ;-1 \leq x \leq 0\} \quad \text { e } \quad F=\{x \in \mathbb{R} ; 0 \leq x \leq 1\}
a. Determine E-F e f(E)-f(F).
b. Mostre que não é verdade que f(E-F) \subseteq f(E)-f(F).

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2, e os conjuntos
E=[-1,0],\quad F=[0,1].
Precisamos usar a definição de diferença de conjuntos
A - B = \{x\in A: x\notin B\}
e a definição de imagem de um conjunto
f(A)=\{f(x):x\in A\}
para calcular E-F e f(E)-f(F), e depois comparar com f(E-F).

Passo 2

Para achar E-F, eliminamos de E todos os pontos que estão em F. Como E=[-1,0] e F=[0,1], o ponto 0 pertence a ambos, logo
E - F = [-1,0)\,.

Passo 3

Calculamos agora f(E) e f(F). Sobre [-1,0], x^2 varia de 1 (em x=-1) até 0 (em x=0), cobrindo todo o intervalo [0,1]. O mesmo vale para [0,1]. Assim
f(E) = [0,1]\quad\text{e}\quad f(F)=[0,1].
Logo
f(E)-f(F) = [0,1]\setminus[0,1] = \varnothing.

Passo 4

Agora a imagem de E-F=[-1,0) sob f é
f(E-F)=\{x^2:x\in[-1,0)\}=(0,1]\,,
pois em -1 obtemos 1 e em 0 obtemos 0, mas como 0 está excluído, 0\notin f(E-F).

Passo 5

Comparando temos
f(E-F)=(0,1]\neq\varnothing = f(E)-f(F),
ou seja, f(E-F) contém, por exemplo, 1/4 mas f(E)-f(F) é vazio. Portanto não vale
f(E-F)\subseteq f(E)-f(F).

Resposta

(a) E-F = [-1,0) e f(E)-f(F)=\varnothing.
(b) f(E-F)=(0,1] não está contido em \varnothing, logo f(E-F)\not\subseteq f(E)-f(F).

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