Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
a. Determine
e
.
b. Mostre que não é verdade que
.
b. Mostre que não é verdade que
Passo 1
O enunciado define a função
,
, e os conjuntos
Precisamos usar a definição de diferença de conjuntos
e a definição de imagem de um conjunto
para calcular
e
, e depois comparar com
.
Passo 2
Para achar
, eliminamos de
todos os pontos que estão em
. Como
e
, o ponto
pertence a ambos, logo
Passo 3
Calculamos agora
e
. Sobre
,
varia de
(em
) até
(em
), cobrindo todo o intervalo
. O mesmo vale para
. Assim
Logo
Passo 4
Agora a imagem de
sob
é
pois em
obtemos
e em
obtemos
, mas como
está excluído,
.
Passo 5
Comparando temos
ou seja,
contém, por exemplo,
mas
é vazio. Portanto não vale
Resposta
(a)
e
(b) não está contido em
, logo
.
(b)