5 Seja F o subespaço de R^3 gerado pelos vetores u=(1,1,1) e v=(1,-1,2). Encontre números reais a, b, c in R tais que: w=(x, y, z) in F se, e somente se, a x+b y+c z=0.

Passo 1

O enunciado diz que FsubsetR^3 é o subespaço gerado pelos vetores
u=(1,1,1), v=(1,-1,2)
Queremos achar coeficientes reais a,b,c tais que
w=(x,y,z)in F Long<=ftrightarrow a x + b y + c z = 0
Em geometria, dim F=2 em R^3, então F é um plano que pode ser descrito como o conjunto de vetores ortogonais a um vetor normal (a,b,c).

Passo 2

Para (a,b,c) ser normal a F, ele deve ser ortogonal a u e a v. Logo devemos resolver o sistema
(a,b,c)cdot u = a + b + c = 0, (a,b,c)cdot v = a - b + 2c = 0

Passo 3

Do sistema
a + b + c = 0, a - b + 2c = 0,
subtraindo a primeira equação da segunda temos
(a - b + 2c) - (a + b + c) = -2b + c = 0 Longrightarrow c = 2b
Substituindo em a + b + c = 0
a + b + 2b = 0 Longrightarrow a + 3b = 0 Longrightarrow a = -3b

Passo 4

Assim todos os vetores normais são da forma
(a,b,c) = (-3b,;b,;2b),
com bneq0. Podemos escolher, por exemplo, b=1, obtendo o normal
(a,b,c) = (-3,,1,,2)
Multiplicando por -1 (que não altera a equação do plano) temos o triplo equivalente
(3,,-1,,-2)

Resposta

Uma equação que caracteriza F é
3x - y - 2z = 0

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