- Seja U o subespaço de
formado pelos vetores da forma
e seja V o subespaço de todos os vetores da forma
. quais as dimensões de
,
? Encontre uma base para cada um desses subespaços. Interprete geograficamente sua conclusão.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões e bases de quatro subespaços de
:
–
–
–
–
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais: calcular dimensão, interseção e soma, e aplicar a fórmula
–
–
–
–
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais: calcular dimensão, interseção e soma, e aplicar a fórmula
Passo 2
Para
, todo vetor tem a forma
. Logo, basta ver que os graus de liberdade são
e
.
Uma base natural é
Uma base natural é
Assim
Passo 3
Para
, todo vetor tem a forma
. Os graus de liberdade são
e
.
Uma base natural é
Uma base natural é
Assim
Passo 4
Um vetor em
deve ser de ambas as formas, isto é
Comparando coordenadas,
,
e
. Logo
Aqui só sobra o parâmetro
, logo
e uma base é
Passo 5
Pela fórmula da dimensão da soma,
Geometricamente,
é o conjunto de vetores
isto é
, um hiperplano de dimensão 3. Uma base conveniente é
Resposta
Dimensões:
,
,
,
.
Bases:
Interpretação geométrica:
é o plano
,
é o plano
, sua interseção é o eixo
e a soma é o hiperplano
em
.