1. Seja U o subespaço de r4 formado pelos vetores da forma (u1, u2, 0,0)^T e seja V o subespaço de todos os vetores da forma (0, v2, v3, 0)^T. quais as dimensões de U, V, U cap V, U+V ? Encontre uma base para cada um desses subespaços. Interprete geograficamente sua conclusão.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões e bases de quatro subespaços de R^4:
U=(u1,u2,0,0)^T
V=(0,v2,v3,0)^T
Ucap V
U+V
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais: calcular dimensão, interseção e soma, e aplicar a fórmula
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)

Passo 2

Para U, todo vetor tem a forma (u1,u2,0,0)^T. Logo, basta ver que os graus de liberdade são u1 e u2.
Uma base natural é
e1=(1,0,0,0)^T, e2=(0,1,0,0)^T
Assim
dim U=2

Passo 3

Para V, todo vetor tem a forma (0,v2,v3,0)^T. Os graus de liberdade são v2 e v3.
Uma base natural é
f1=(0,1,0,0)^T, f2=(0,0,1,0)^T
Assim
dim V=2

Passo 4

Um vetor em Ucap V deve ser de ambas as formas, isto é
(u1,u2,0,0)=(0,v2,v3,0)
Comparando coordenadas, u1=0, u2=v2 e v3=0. Logo
Ucap V=(0,u2,0,0)^T
Aqui só sobra o parâmetro u2, logo
dim(Ucap V)=1
e uma base é
(0,1,0,0)^T

Passo 5

Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=2+2-1=3
Geometricamente, U+V é o conjunto de vetores
(u1,u2,0,0)+(0,v2,v3,0)=(u1,u2+v2,v3,0),
isto é (x1,x2,x3,0)^T, um hiperplano de dimensão 3. Uma base conveniente é
(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T

Resposta

Dimensões:
dim U=2, dim V=2, dim(Ucap V)=1, dim(U+V)=3.
Bases:
U:(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T
V:(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T
Ucap V:(0,1,0,0)^T
U+V:(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T
Interpretação geométrica:
U é o plano x3=x4=0, V é o plano x1=x4=0, sua interseção é o eixo x2 e a soma é o hiperplano x4=0 em R^4.

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