E11=(ll1 & 0 0 & 0) E12=(ll0 & 1 0 & 0) E21=(ll0 & 0 1 & 0) E22=(ll0 & 0 0 & 1)
Mostre que os vetores dados são linearmente independentes.
E_{21}=\left( ll0 & 0 1 & 0\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as quatro matrizes em M2times2:
E11=1 & 0 0 & 0, E12=0 & 1 0 & 0, E21=0 & 0 1 & 0, E22=0 & 0 0 & 1
Precisamos mostrar que elas são linearmente independentes em M2times2. Para isso, vamos usar a definição: se
a,E11+b,E12+c,E21+d,E22=0
implica a=b=c=d=0, então as matrizes são linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual à matriz nula:
a,E11+b,E12+c,E21+d,E22 =;a1&00&0 +b0&10&0 +c0&01&0 +d0&00&1

Passo 3

Somando as matrizes, obtemos
a & 0 0 & 0 + 0 & b 0 & 0 + 0 & 0 c & 0 + 0 & 0 0 & d = a & b c & d
Então a condição de ser a matriz nula é
a & b c & d = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Igualando cada entrada à zero, temos o sistema
a=0, b=0, c=0, d=0
Essa é a única solução possível para o vetor de coeficientes (a,b,c,d).

Resposta

Como a única solução da combinação linear que dá a matriz nula é a trivial a=b=c=d=0, concluímos que E11,E12,E21,E22 são linearmente independentes em M2times2.

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