Seja f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R} uma função. Mostre que f é contínua se, e somente se, para todo conjunto fechado X \subset B, tem-se que f^{-1}(X) é um conjunto fechado em A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a continuidade de f\colon A\subset\mathbb{R}\to B\subset\mathbb{R} e a seguinte propriedade topológica: “para todo conjunto fechado X\subset B, o pré-imagem f^{-1}(X) é fechado em A”. Vamos usar como base o fato clássico de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto, e a definição de continuidade via pré-imagem de abertos.

Passo 2

Suponha que f é contínua. Seja X\subset B fechado. Então o complementar
B\setminus X
é aberto em B. Pela continuidade de f, a pré-imagem
f^{-1}\bigl(B\setminus X\bigr)
é um conjunto aberto em A. Mas
f^{-1}\bigl(B\setminus X\bigr) = A\setminus f^{-1}(X).
Como o complementar de f^{-1}(X) em A é aberto, concluímos que f^{-1}(X) é fechado em A.

Passo 3

Agora suponha que para todo fechado X\subset B temos f^{-1}(X) fechado em A. Queremos mostrar que f é contínua, isto é, que a pré-imagem de qualquer aberto em B é aberto em A. Seja U\subset B aberto. Então
B\setminus U
é fechado, de modo que por hipótese
f^{-1}\bigl(B\setminus U\bigr)
é fechado em A. Mas novamente
f^{-1}\bigl(B\setminus U\bigr) = A\setminus f^{-1}(U).
Logo o complementar de f^{-1}(U) em A é fechado, o que implica que f^{-1}(U) é aberto em A. Assim f é contínua.

Resposta

A função f é contínua se, e somente se, para todo conjunto fechado X\subset B tem-se f^{-1}(X) fechado em A.

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