Sejam f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função e X, Y \subset A. Mostre que
f^{-1}\left(X^{C}\right)=\left(f^{-1}(X)\right)^{C};

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma função f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um conjunto X\subset\mathbb{R}, vale
f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr)\;=\;\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}.
O que vamos usar é a definição de imagem inversa:
f^{-1}(S)=\{\,x\in A\mid f(x)\in S\},
e a definição de complementar em A:
S^{C}=\{\,x\in A\mid x\notin S\}.

Passo 2

Mostramos primeiro
f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr)\;\subset\;\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}.
Seja x\in f^{-1}(X^{C}). Então x\in A e f(x)\in X^{C}. Por definição de complementar, f(x)\notin X. Daí x\notin f^{-1}(X). Como x\in A e x\notin f^{-1}(X), concluímos x\in \bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}. Logo
f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr)\subset\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}.

Passo 3

Agora mostramos
\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}\;\subset\;f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr).
Seja x\in \bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}. Então x\in A e x\notin f^{-1}(X). Isso implica f(x)\notin X, ou seja, f(x)\in X^{C}. Assim x\in f^{-1}(X^{C}). Logo
\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}\subset f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr).

Resposta

Pelo Passo 2 e pelo Passo 3 temos as duas inclusões mútuas, e portanto
f^{-1}\bigl(X^{C}\bigr)=\bigl(f^{-1}(X)\bigr)^{C}.

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