Seja F(t)=3 t^2+5 t-sin (4 pi t) a função que determina o valor em Newton de uma força num determinado objeto em função do tempo (em segundos), calcule o impulso transferido ao objeto nos primeiros 4 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a força
F(t)=3,t^2+5,t-sin(4pi t)
e pede o impulso transferido nos primeiros 4 s. Em Mecânica, o impulso J é a integral de F(t) no intervalo de tempo considerado, então vamos usar cálculo de integrais definidas para resolver.

Passo 2

Escrevemos o impulso J como
J = integral0^4F(t),dt = integral0^4l(3,t^2+5,t-sin(4pi t)r),dt

Passo 3

Calculamos a antiderivada de cada termo:
  • integral 3,t^2,dt = t^3,
  • integral 5,t,dt = 52t^2,
  • integral -sin(4pi t),dt = cos(4pi t)4pi
Logo,
integrall(3,t^2+5,t-sin(4pi t)r),dt = t^3 + 52,t^2 + cos(4pi t)4pi + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 4:
J = [t^3 + 52t^2 + cos(4pi t)4pi]0^4 = l(4^3 + 52cdot4^2 + cos(16pi)4pir) - l(0 + 0 + cos(0)4pir)
Como cos(16pi)=cos(0)=1, o termo com cosseno cancela, sobrando
J = 64 + 40 = 104

Resposta

O impulso transferido nos primeiros 4 s é 104 Ncdots.

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