Quais das seguintes integrais é imprópria? E qual a razão?
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a integral
é imprópria. Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente nas integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função no intervalo de integração e verificar se há algum ponto onde a função não está bem definida ou se o intervalo é infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que está sendo integrada:
. Uma integral é imprópria quando a função tem um ponto de descontinuidade no intervalo de integração, ou seja, quando o denominador pode ser igual a zero, deixando a função indefinida.
Passo 3
Vamos encontrar onde o denominador
é igual a zero:
Então, em
, a função
não está definida porque teríamos uma divisão por zero.
Passo 4
Como
está dentro do intervalo de integração de
a
, isso significa que a função apresenta um comportamento problemático nesse ponto. Mais especificamente, a função tende ao infinito quando
se aproxima de
, o que caracteriza uma descontinuidade infinita.
Passo 5
Devido a essa descontinuidade infinita dentro do intervalo de integração, a integral
não é uma integral própria. Precisamos usar limites para tratar essa situação, tornando-a uma integral imprópria.
Resposta
Sim, a integral
é imprópria porque a função apresenta uma descontinuidade infinita em
dentro do intervalo de integração.