Quais das seguintes integrais é imprópria? E qual a razão?
(a) integral0^2 12 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a integral integral0^2 12x - 1 , dx é imprópria. Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente nas integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função no intervalo de integração e verificar se há algum ponto onde a função não está bem definida ou se o intervalo é infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que está sendo integrada: 12x - 1. Uma integral é imprópria quando a função tem um ponto de descontinuidade no intervalo de integração, ou seja, quando o denominador pode ser igual a zero, deixando a função indefinida.

Passo 3

Vamos encontrar onde o denominador 2x - 1 é igual a zero:
2x - 1 = 0 implies x = 12
Então, em x = 12, a função 12x - 1 não está definida porque teríamos uma divisão por zero.

Passo 4

Como x = 12 está dentro do intervalo de integração de 0 a 2, isso significa que a função apresenta um comportamento problemático nesse ponto. Mais especificamente, a função tende ao infinito quando x se aproxima de 12, o que caracteriza uma descontinuidade infinita.

Passo 5

Devido a essa descontinuidade infinita dentro do intervalo de integração, a integral integral0^2 12x - 1 , dx não é uma integral própria. Precisamos usar limites para tratar essa situação, tornando-a uma integral imprópria.

Resposta

Sim, a integral integral0^2 12x - 1 , dx é imprópria porque a função apresenta uma descontinuidade infinita em x = 12 dentro do intervalo de integração.

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