Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função f dada:
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências (série de Maclaurin) da função f(x)=x² eˣ. O conteúdo envolvido é séries de Taylor/Maclaurin e vamos usar a expansão conhecida de eˣ.

Passo 2

Começamos recordando que a série de Maclaurin de eˣ é dada por
e^x=sumn=0^inftyx^nn!

Passo 3

Para obter f(x)=x² eˣ, basta multiplicar a série de eˣ por x². Assim temos
f(x)=x^2e^x=sumn=0^inftyx^2x^nn!=sumn=0^inftyx^n+2n!

Passo 4

Para escrever a expansão como soma a partir da potência xⁿ, fazemos a troca de índice k=n+2. Quando n=0, k=2, logo:
f(x)=sumk=2^inftyx^k(k-2)!
Opcionalmente, podemos listar os primeiros termos: x² + x³ + \tfrac12x⁴ + \tfrac16x⁵ + ⋯.

Resposta

f(x)=x^2e^x=sumn=0^inftyx^n+2n!=sumn=2^inftyx^n(n-2)!

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