Seja f(u)\) a função definida em toda a reta reap por \(f(u)= \begin{cases}u+1, & \text { se } u \neq 1, \\\\ 3, & \text { se } u=1 .\end{cases} e g(x) a função definida também na reta toda por g(x)=1. Mostre, fazendo cálculos diretos, que \lim _{x \rightarrow p} f(g(x)) \neq \lim _{u \rightarrow 1} f(u) Passo 1O enunciado define f(u)= \begin{cases} u+1,&\text{se }u\neq1,\\\\ 3,&\text{se }u=1, \end{cases} e g(x)=1\quad\forall x. Pede para calcular diretamente \lim_{x\to p}f(g(x)) e \lim_{u\to1}f(u) e mostrar que esses dois valores não coincidem. Passo 2Como g(x)=1 para todo x, temos f(g(x))=f(1)=3\quad\forall x. Uma função constante tem limite igual ao próprio valor constante, logo \lim_{x\to p}f(g(x))=3. Passo 3Para \lim_{u\to1}f(u) observamos que, ao fazer u\to1 mas u\neq1, usamos a definição f(u)=u+1. Então \lim_{u\to1}f(u) =\lim_{u\to1}(u+1) =1+1 =2. Passo 4Comparando os resultados, \lim_{x\to p}f(g(x))=3 \quad\text{e}\quad \lim_{u\to1}f(u)=2, e claramente 3\neq2. Portanto os limites são diferentes. Resposta \displaystyle\lim_{x\rightarrow p}f(g(x))=3\neq2=\lim_{u\rightarrow1}f(u). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule os limites abaixo: \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{4}-3 x+2\right) Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado: f(x)=\frac{|x|}{x} \quad em x_{0}=0 Seja P(x) um polinômio de grau n \in \mathbb{N} dado por P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots+a_{1} x+a_{0}, onde a_{n} \neq 0. Mostre que \lim _{x \rightarrow \infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n} x^{n} \text { e } \lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} a_{n} x^{n} . Calcule os limites abaixo: \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{4}-3 x+2\right)