1. Seja f(u)\) a função definida em toda a reta reap por \(f(u)= \begin{cases}u+1, & \text { se } u \neq 1, \\\\ 3, & \text { se } u=1 .\end{cases} e g(x) a função definida também na reta toda por g(x)=1. Mostre, fazendo cálculos diretos, que
\lim _{x \rightarrow p} f(g(x)) \neq \lim _{u \rightarrow 1} f(u)

Passo 1

O enunciado define
f(u)= \begin{cases} u+1,&\text{se }u\neq1,\\\\ 3,&\text{se }u=1, \end{cases}
e
g(x)=1\quad\forall x.
Pede para calcular diretamente \lim_{x\to p}f(g(x)) e \lim_{u\to1}f(u) e mostrar que esses dois valores não coincidem.

Passo 2

Como g(x)=1 para todo x, temos
f(g(x))=f(1)=3\quad\forall x.
Uma função constante tem limite igual ao próprio valor constante, logo
\lim_{x\to p}f(g(x))=3.

Passo 3

Para \lim_{u\to1}f(u) observamos que, ao fazer u\to1 mas u\neq1, usamos a definição f(u)=u+1. Então
\lim_{u\to1}f(u) =\lim_{u\to1}(u+1) =1+1 =2.

Passo 4

Comparando os resultados,
\lim_{x\to p}f(g(x))=3 \quad\text{e}\quad \lim_{u\to1}f(u)=2,
e claramente 3\neq2. Portanto os limites são diferentes.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}f(g(x))=3\neq2=\lim_{u\rightarrow1}f(u).

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